[論文レビュー] Generic approximation of functions by their Padé approximants

Grigorios Fournodavlos, Nestoridis, V.|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、複素平面の任意の開集合上での一般化された正則関数が、近似式の次数に関する緩い成長条件の下で、そのパデ近似により近似可能であることを確立している。バナッハのカテゴリ定理を用いて、任意の開集合 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ に対して、$A^\infty(\Omega)$ 内の関数の残渣的集合が、$p_n, q_n \to \infty$ である限り、すべての中心 $\zeta \in \Omega$ において、それ自身のパデ近似 $[p_n/q_n]_{f,\zeta}$ により同時に近似可能であることを証明している。これは、整関数に関する先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

Generic approximation of entire functions by their Padé approximants has been achieved in the past (\cite{3}). In the present article we obtain generic approximation of holomorphic functions on arbitrary open sets by sequences of their Padé approximants. Similar results hold with functions smooth on the boundary of their domain of definition. In addition, the approximation is valid simultaneously with respect to all centers of expansion.

研究の動機と目的

• 複素平面の任意の開集合 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ における正則関数のパデ近似による一般化近似を、整関数に関する既存の結果から拡張すること。
• すべての中心 $\zeta \in \Omega$ に対して、パデ近似による同時近似を確立すること。
• $\overline{\Omega}$ の補集合に連結性の条件が成り立つ場合に、$A^\infty(\Omega)$ 内の関数（境界に至るまで滑らか）への拡張を達成すること。
• $A^\infty(\Omega)$ 内で、このような近似可能な関数の集合がフレシェ空間において残渣的（一般的）であることを示すこと。

提案手法

• 証明は、フレシェ空間 $H(\Omega)$ および $A^\infty(\Omega)$ にバナッハのカテゴリ定理を適用することに依拠している。
• 著者らは、コンパクト集合 $K$ および中心 $L$ において、次数 $s$ まで一様収束するパデ近似が成立する関数の集合 $E^\infty(\Omega, K, L, s, (p,q))$ を定義している。
• ワイエルシュトラス近似および極を制御した有理関数の摂動を用いて、これらの集合が $A^\infty(\Omega)$ で開かつ稠密であることを示している。
• これらの集合の $s$ に関する全積集合と、$(p,q)$ に関する和集合の共通部分集合が $G_\delta$ かつ稠密であることを示すことにより、近似の一般性を確立している。
• パデ近似 $[p/q]_{f,\zeta}$ の存在および一意性を保証するため、ハンケル行列式の条件を用いている。
• この手法は $H(\Omega)$ および $A^\infty(\Omega)$ の両方へ適用可能であり、後者では $\overline{\Omega}$ の補集合が連結でなければならない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素平面の任意の開集合 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ 上の正則関数のパデ近似が、一般に収束することを示せるか？
• RQ2 すべての中心 $\zeta \in \Omega$ において、パデ近似による同時近似が可能か？
• RQ3 適切な位相的条件の下で、境界に至るまで滑らかな関数（すなわち $A^\infty(\Omega)$ 内の関数）に対しても、この結果を拡張できるか？
• RQ4 次数 $p_n, q_n$ にどのような条件を課すと、$[p_n/q_n]_{f,\zeta}$ がコンパクト集合上で $f$ に一様収束するようになるか？

主な発見

• 任意の開集合 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ に対して、$A^\infty(\Omega)$ 内の関数の残渣的集合は、$p_n, q_n \to \infty$ である限り、すべての $\zeta \in \Omega$ において、それ自身のパデ近似 $[p_n/q_n]_{f,\zeta}$ により同時に近似可能である。
• このような関数の集合は $A^\infty(\Omega)$ において $G_\delta$ かつ稠密であり、位相的意味での一般性を示している。
• 関数 $f$ が $\overline{\Omega}$ 上で滑らかである場合でも、$\mathbb{C} \cup \infty \setminus \overline{\Omega}$ が連結であれば、この結果は成り立つ。
• 証明により、整関数の場合には $p_n \to \infty$ であるだけで十分なことが示され、これにより先行研究を強化している。
• 収束は $\overline{\Omega}$ のコンパクト部分集合上で一様であり、任意の有限次の導関数に対しても成り立つ。
• この手法は $H(\Omega)$ および $A^\infty(\Omega)$ の両方へ適用可能であり、後者では $\overline{\Omega}$ の補集合が連結でなければならない。