[論文レビュー] Generic Hamiltonian Dynamics

Mário Bessa, Célia Ferreira+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、閉じたシンプレクティック多様体上の一般の $C^2$ ハミルトニアンに対して、全レベーグ測度を占めるエネルギー準位が位相的混合であり、ホモクライン型クラスをなすことを確立する。擬似軌道に対する新規な接続補題を用いて、著者らは $C^2$-一般に、ハミルトニアン系の流れが大多数のエネルギー準位で強力なトランスティヴ動的性質を示すことを証明した。KAM理論による障害を克服した。

ABSTRACT

In this paper we contribute to the generic theory of Hamiltonians by proving that there is a C2-residual R in the set of C2 Hamiltonians on a closed symplectic manifold M, such that, for any H in R, there is a full measure subset of energies e in H(M) such that the Hamiltonian level (H,e) is topologically mixing; moreover these level sets are homoclinic classes.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン系における $C^2$ 位相での一般的位相的混合の確立を目的とする。
• エネルギー準位全体にわたるハミルトニアンの一般性を定式化する概念的課題を解決することを目的とする。
• $C^2$-一般のハミルトニアンに対して、大多数のエネルギー準位がホモクライン型クラスであり、位相的混合であることを証明することを目的とする。
• ハミルトニアン力学における擬似軌道の接続補題を、主要な技術的道具として開発することを目的とする。
• $C^2$ での一般的混合と、低正則性設定における KAM理論的障害との対比を明らかにすることを目的とする。

提案手法

• 一般性が成り立つ $C^2$-残渣集合 $\mathcal{R}$ を構成する。
• $H \in \mathcal{R}$ に対して、エネルギー $e$ の全測度部分集合が、位相的混合な準位集合 $\mathcal{E}_{H,e}$ を与えることを証明する。
• $\mathcal{V}$ の近傍を除く、被覆的家族の断面とフローボックスを導入し、擬似軌道を制御する。
• カクタニ塔と摂動技術を用いて、任意の点を擬似軌道で接続する $C^2$-小なハミルトニアン摂動を構成する。
• [5] のシンプレクティズム結果に由来する、ハミルトニアン系における擬似軌道の接続補題を適用し、軌道の接続を達成する。
• 周期軌道の均一な回避性と横断性を活用し、摂動がタイリング構造とフローボックス構造を維持することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じたシンプレクティック多様体上のハミルトニアン系において、$C^2$ 位相で位相的混合が一般に成立するか？
• RQ2 $C^2$-残渣集合のハミルトニアンが存在し、その多くが位相的混合なエネルギー準位を持つだろうか？
• RQ3 $C^2$-一般のハミルトニアンは、エネルギー準位がホモクライン型クラスであるだろうか？
• RQ4 $C^2$ 正則性を満たす連続時間のハミルトニアン設定に、擬似軌道接続の議論を適応できるだろうか？
• RQ5 $C^2$ ハミルトニアンにおける一般的混合は、KAM理論的根拠による不変トーラスの保存とどのように両立するのか？

主な発見

• 全レベーグ測度を占めるエネルギー $e$ に対して、$C^2$-残渣集合 $\mathcal{R}$ の各 $H \in \mathcal{R}$ に対して、位相的混合な準位集合 $\mathcal{E}_{H,e}$ が得られる。
• $H \in \mathcal{R}$ に対して、エネルギー準位 $\mathcal{E}_{H,e}$ の各連結成分はホモクライン型クラスである。
• $H \in \mathcal{R}$ および全測度の $e$ に対して、エネルギー準位集合 $\mathcal{E}_{H,e}$ は位相的混合であり、稠密な軌道と強い再帰性を示す。
• ハミルトニアン系における擬似軌道の接続補題が確立され、$C^2$-小な摂動による軌道接続が可能になった。
• KAM理論的障害が存在するにもかかわらず、この結果は $C^2$ 位相での一般性ゆえに成立する。$C^1$ やそれ以下の正則性とは異なる。
• 証明は、互いに不交な台を持つ断面とフローボックスの被覆的家族の構成に依拠しており、エネルギー準位全体にわたる擬似軌道の制御を保証する。