[論文レビュー] Generic injectivity of the X-ray transform

Mihajlo Cekić, Thibault Lefeuvre|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2021

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ひとこと要約

本稿は、次元≥3 の閉じたアノソフ多様体および厳密に凸な境界と双曲的捕捉集合をもつ多様体において、任意の次数の対称テンソルに対するX線変換の一般的単射性を確立する。楕円型作用素の0固有値に対する摂動的微局所的手法を用いて、解析的単射性の問題を表現論的代数的条件に還元し、負曲率や次元2の仮定を超えて、アノソフ計量の一般的近傍における局所スペクトル剛性および局所マークド長さスペクトル剛性を証明する。

ABSTRACT

In dimensions $\geq 3$, we prove that the X-ray transform of symmetric tensors of arbitrary degree is generically injective with respect to the metric on closed Anosov manifolds and on manifolds with spherical strictly convex boundary, no conjugate points and a hyperbolic trapped set. This has two immediate corollaries: local spectral rigidity, and local marked length spectrum rigidity (building on earlier work by Guillarmou, Knieper and the second author [arXiv:1806.04218], [arXiv:1909.08666]), in a neighbourhood of a generic Anosov metric. In both cases, this is the first work going beyond the negatively curved assumption or dimension $2$. Our method, initiated in [arXiv:2008.09191] and fully developed in the present paper, is based on a perturbative argument of the $0$-eigenvalue of elliptic operators via microlocal analysis which turn the analytic problem of injectivity into an algebraic problem of representation theory. When the manifold is equipped with a Hermitian vector bundle together with a unitary connection, we also show that the twisted X-ray transform of symmetric tensors (with values in that bundle) is generically injective with respect to the connection. This property turns out to be crucial when solving the $ extit{holonomy inverse problem}$, as studied in a subsequent article [arXiv:2105.06376].

研究の動機と目的

• 次元≥3 におけるアノソフ多様体上での任意の次数の対称テンソルに対するX線変換の一般的単射性を確立すること。
• 厳密に凸な境界、共役点なし、双曲的捕捉集合をもつ多様体への単射性結果の拡張。
• 負曲率や次元2の仮定なしに、アノソフ計量の一般的近傍における局所スペクトル剛性および局所マークド長さスペクトル剛性を証明すること。
• 解析的単射性を代数的表現論に結びつける摂動的微局所的手法の開発。
• ヒルベルトバンドルにユニタリ接続を備えたねじれX線変換への結果の拡張。これはホロノミー逆問題を解く上で重要である。

提案手法

• 微局所解析を用いた楕円型作用素の0固有値に関する摂動的議論により、解析的単射性問題を表現論における代数的問題に変換する。
• 測地線フローの構造とその不変分解 $ T(SM) = \mathbb{R}X \oplus E_s \oplus E_u $ を用いて、アノソフ多様体上でのX線変換を分析する。
• X線変換 $ I^g_m = I^g \circ \pi_m^* $ を用いる。ここで $ \pi_m^* $ は対称テンソルを球面バンドル $ SM $ に引き戻す写像であり、コブアイヤン分解を用いてその核を研究する。
• 分解 $ f = Dp + h $ と $ D^*h = 0 $ に依拠し、単射性をソリノイダル単射性（s-単射性） $ I^g_m $ に還元する。
• ユニタリ接続を備えたヒルベルトバンドル値のねじれX線変換への分析を拡張し、接続に関して一般的単射性を証明する。
• 境界への拡張技術を用いる：$ h $ が境界で無限回微分可能に消え、$ M $ 上で $ I^g_m h = 0 $ ならば、$ h $ はコブアイアンであり、軌道の稠密性と反対称写像による対称性により $ u $ の境界条件が強制される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元≥3 におけるアノソフ多様体上での任意の次数の対称テンソルに対するX線変換は、一般に単射的か？
• RQ2 負曲率や次元2の仮定なしに、アノソフ計量の一般的近傍における局所スペクトル剛性は確立可能か？
• RQ3 高次元におけるアノソフ計量について、マークド長さスペクトル剛性は局所的に成り立つか？これは従来の知られていた場合を超えて成り立つか？
• RQ4 ユニタリ接続を備えたねじれX線変換の一般的単射性は確立可能か？また、これはホロノミー逆問題とどのように関係するか？
• RQ5 微局所解析と表現論は、X線変換単射性の解析的問題を代数的条件に還元する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 次元≥3 における閉じたアノソフ多様体上では、任意の次数の対称テンソルに対するX線変換は一般に単射的である。
• 球面的厳密に凸な境界、共役点なし、双曲的捕捉集合をもつ多様体において、次元≥3 でX線変換は一般に単射的である。
• アノソフ計量の一般的近傍において局所スペクトル剛性が成り立つ。これは従来の負曲率や次元2の仮定を超えて成立する。
• アノソフ計量の一般的近傍において局所マークド長さスペクトル剛性が確立され、負曲率や次元2の仮定なしに成立する。
• ヒルベルトバンドル値でユニタリ接続を備えたねじれX線変換は、接続に関して一般に単射的である。これはホロノミー逆問題を解く上で重要な一歩である。
• 証明技法により、楕円型作用素の0固有値の摂動を微局所解析を用いて行い、単射性を代数的表現論的条件に還元する。