[論文レビュー] Generic linear perturbations

Shunsuke Ichiki|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Advanced Banach Space Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ℝᵐ から ℝˡ への滑らかな写像の線形摂動を導入することで、マザールの一般化射影理論を一般化する。ほとんどすべてのこのような摂動が、モジュラー部分多様体に関して横断的となる写像を生成することを証明し、古典的なモース関数、優美写像、安定性に関する結果を拡張する。主な貢献は、線形摂動の下で強固な横断性の結果を得ることであり、一般化された距離二乗写像やトム＝ボアードマン多様体への応用が可能である。

ABSTRACT

In his celebrated paper "Generic projections", John Mather has shown that almost all linear projections from a submanifold of a vector space into a subspace are transverse with respect to a given modular submanifold. In this paper, an improvement of Mather's result is stated. Namely, we show that almost all linear perturbations of a smooth mapping from a submanifold of $\mathbb{R}^m$ into $\mathbb{R}^\ell$ yield a transverse mapping with respect to a given modular submanifold. Moreover, applications of this result are given.

研究の動機と目的

• マザールの古典的結果における射影を、滑らかな写像の一般化された線形摂動に置き換えることにより、一般化射影理論を拡張すること。
• 摂動された写像がモジュラー部分多様体（トム＝ボアードマン多様体を含む）に関して横断的となることを確立すること。
• 一般化された線形摂動が局所的無限小安定または安定な写像を生成する条件を提供すること。
• 主結果を一般化された距離二乗写像に適用し、その次元範囲（よい次元範囲）において一般に安定であることを証明すること。

提案手法

• 滑らかな写像 $ F: U \to \mathbb{R}^\ell $ に作用する線形写像 $ \pi \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^\ell) $ を摂動として用い、摂動写像 $ F_\pi = F + \pi $ を定義する。
• 摂動をパラメータ化するための空間 $ \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^\ell) \cong (\mathbb{R}^m)^\ell $ を用い、測度論的議論により、ほとんどすべての摂動が所望の性質を満たすことを示す。
• パrametric横断性定理を適用し、ジェットの延長 $ {}_s j^r(F_\pi \circ f) $ が、与えられたモジュラー部分多様体 $ W \subset {}_s J^r(N, \mathbb{R}^\ell) $ に対して一般に横断的であることを示す。
• 空間 $ (\mathbb{R}^m)^\ell $ から $ \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^\ell) $ への微分同相写像 $ \psi $ を構成し、零測度集合を移動させるとともに、摂動の下で横断性を保つ。
• 主結果を一般化された距離二乗写像 $ G_{(p,A)}(x) = \sum_{j=1}^m a_{ij}x_j^2 - 2\sum_{j=1}^m a_{ij}p_{ij}x_j $ に適用し、その一般に安定であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな写像の一般化された線形摂動が、モジュラー部分多様体に関して横断的となるか？
• RQ2 摂動フレームワークは、モース関数や優美写像に関するマザールの結果を、より広いクラスの写像へと拡張できるか？
• RQ3 一般化された距離二乗写像の一般摂動が、どのような条件下で局所的無限小安定となるか？
• RQ4 ジェットの延長の横断性は、線形摂動の下でどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意の滑らかな埋め込み $ f: N \to \mathbb{R}^m $ と滑らかな写像 $ F: U \to \mathbb{R}^\ell $ に対して、一般に線形摂動 $ F_\pi = F + \pi $ により得られる写像 $ F_\pi \circ f $ は、任意の与えられたモジュラー部分多様体に関して横断的となる。
• $ (n,\ell) = (n,1) $ の場合、一般に摂動により $ N $ 上のモース関数が得られる。
• $ (n,\ell) = (2,2) $ の場合、一般に摂動により $ \mathbb{R}^2 $ への優美写像が得られる。
• $ (n,\ell) = (2,3) $ の場合、一般に摂動の像には、正規交差とピンチ・ポイントのみが特異点として現れる。
• $ (n,\ell) $ が次元のよい範囲にある場合、一般に摂動により局所的無限小安定な写像が得られる。$ N $ がコンパクトであれば、写像は安定である。
• 一般化された距離二乗写像 $ G_{(p,A)} $ に対して、$ (m,\ell) $ がよい次元範囲にある場合、中心 $ p \in (\mathbb{R}^m)^\ell $ の一般な選択により、局所的無限小安定な写像が得られる。