[論文レビュー] Generic Single Edge Fault Tolerant Exact Distance Oracle

Manoj Gupta, Aditi Singh|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、無向無重みグラフにおけるσ個のソースを想定し、単一エッジ障害に耐性を持つ正確な距離オラクルを提示する。空間計算量は˜O(σ¹/²n³/²)、クエリ時間は˜O(1)を達成している。先行研究を改善するため、非互いに素な代替パスに対して新たなパスの非交差性に関する議論を用い、BFS木上のデータ構造および範囲クエリを活用することで、パスの適切な分解とエッジ回避の検出を可能にし、定数時間クエリを実現している。

ABSTRACT

Given an undirected unweighted graph G and a source set S of |S| = sigma sources, we want to build a data structure which can process the following query Q(s,t,e): find the shortest distance from s to t avoiding an edge e, where s in S and t in V. When sigma=n, Demetrescu, Thorup, Chowdhury and Ramachandran (SIAM Journal of Computing, 2008) designed an algorithm with O~(n^2) space and O(1) query time. A natural open question is to generalize this result to any number of sources. Recently, Bil{ò} et. al. (STACS 2018) designed a data-structure of size O~(sigma^{1/2}n^{3/2}) with the query time of O(sqrt{n sigma}) for the above problem. We improve their result by designing a data-structure of size O~(sigma^{1/2} n^{3/2}) that can answer queries in O~(1) time. In a related problem of finding fault tolerant subgraph, Parter and Peleg (ESA 2013) showed that if detours of replacement paths ending at a vertex t are disjoint, then the number of such paths is O(sqrt{n sigma}). This eventually gives a bound of O(n sqrt{n sigma}) = O(sigma^{1/2}n^{3/2}) for their problem. Disjointness of detours is a very crucial property used in the above result. We show a similar result for a subset of replacement path which may not be disjoint. This result is the crux of our paper and may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、単一ソース障害耐性あり距離オラクルを複数ソースへ一般化することである。
• 障害耐性あり部分グラフの空間効率と距離オラクルのクエリ効率のギャップを埋めることである。
• 複数ソース、単一エッジ障害に対する距離クエリにおいて、準2次関数的空間計算量と定数時間クエリを達成することである。
• ParterとPelegの障害耐性あり部分グラフ構成法の空間計算量にほぼ一致するソリューションを提供することである。

提案手法

• 各頂点tを根とするσ-BFS木を用いて代替パスを整理する。
• パスがσ-BFS木と最初に交差する頂点を効率的に特定するため、2つのデータ構造I1(t)とI2(t)を導入する。
• 異なるパスタイプを別々に処理できるよう、パスをヘビー・ライトセグメントに分解する。
• 範囲最小クエリ(RMQ)と深さベースのインデックスを用いて、エッジが代替パスの回避範囲内にあるかどうかを検出する。
• 次数2のパス上では、交差点から遠く離れた頂点において、交差点が変化しないという性質を活用する。
• 短い迂回路(R1)と長い迂回路(R2)の結果を統合することで、障害エッジを避ける最小距離を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 σ個のソースに対して、空間計算量が˜O(σ¹/²n³/²)に近く、クエリ時間が˜O(1)の単一エッジ障害耐性あり正確な距離オラクルを構築できるか？
• RQ2 代替パスのどのような構造的性質が、複数ソース設定における効率的なインデックス化とクエリを可能にするか？
• RQ3 非交差する代替パス構造に対しても、交差する場合と同様の数え上げ的議論により、そのサイズを有界にできるか？
• RQ4 任意のソースとターゲットに対して、ソースパスがσ-BFS木と交差する点を効率的に計算できるか？
• RQ5 複数ソース障害耐性あり距離オラクルにおいて、近似的最適な空間計算量を維持しながら定数時間クエリを達成できるか？

主な発見

• 本稿では、複数ソース、単一エッジ障害に対する距離クエリにおいて、˜O(σ¹/²n³/²)の空間計算量と˜O(1)のクエリ時間を実現する距離オラクルを構築した。
• 同じ空間計算量を維持しながら、Bilòらの˜O(√nσ)のクエリ時間よりも顕著な改善を達成した。
• 主な技術的貢献は、非交差する代替パスに対しても、数え上げ的議論によりその数が有界であることを示す新しい構造的補題の提示である。
• I1(t)とI2(t)の2段階構造を用いることで、σ-BFS木との最初の交差頂点を˜O(1)時間で特定できる。
• 短い迂回路(R1)と長い迂回路(R2)の結果を統合することで、障害エッジを避ける最短パスを正しく特定する。
• すべての頂点tにおける総空間計算量は˜O(σ¹/²n³/²)であり、多項式対数因子を除いて障害耐性あり部分グラフの既知の下界と一致する。