[論文レビュー] Generic Transversality of Minimal Submanifolds and Generic Regularity of Two-Dimensional Area-Minimizing Integral Currents

Brian White|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、リーマン多様体上の一般の共形計量に対して、すべての単純な最小埋め込みが任意の固定された部分多様体に対して横断的であり、自己横断的であることを確立し、2次元面積最小化整数キャリアまたはmod 2のフラットチェーンの台が滑らかに埋め込まれた最小曲面であることを示している。これらの結果はバーレー・カテゴリの議論と、有限集合上で指定された値をとる調和関数に関する偏微分方程式の定理に依拠しており、指定された平均曲率の設定へと拡張されている。

ABSTRACT

Suppose that $N$ is a smooth manifold with a smooth Riemannian metric $g_0$, and that $Γ$ is a smooth submanifold of $N$. This paper proves that for a generic (in the sense of Baire category) smooth metric $g$ conformal to $g_0$, if $F$ is any simple $g$-minimal immersion of a closed manifold into N, then $F$ is transverse to $Γ$ and $F$ is self-transverse. The theorem remains true with "transverse" and "self-transverse" replaced by "strongly transverse" and "strongly self-transverse". The theorem also holds for hypersurfaces of constant mean curvature or, more generally, of prescribed mean curvature. The paper also proves that for a generic ambient metric, every $2$-dimensional surface (integral current or flat chain mod $2$) without boundary that minimizes area in its homology class has support equal to a smoothly embedded minimal surface.

研究の動機と目的

• 共形計量の摂動の下で、固定された部分多様体に対する最小部分多様体の一般横断性を確立すること。
• 一般計量が2次元面積最小化整数キャリアの滑らかで埋め込み済みの台を持つことを保証すること。
• これらの結果を指定された平均曲率の埋め込みおよびmod 2のフラットチェーンへと拡張すること。
• 特異点や非横断的交わりの一般的不在を保証することで、ミニマックス理論の土台を築くこと。

提案手法

• 非自明なヤコビ場をもつ計量の集合が滑らかな計量の空間においてメイジャーであることを示すために、バンピー計量定理の利用。
• 偏微分方程式の結果（ラクスの定理の特別な場合）を応用し、有限集合上で指定された値をとる調和関数の構成。
• 法ベクトル場を用いた1パラメータ族の埋め込みの構成により、計量の摂動と最小性を保ったまま像の変形を行う。
• ランゲ型近似を用いて、最小埋め込み上のコンパクト台付き法ベクトル場の摂動を保証する。
• バーレー・カテゴリによる位相的議論により、非横断的または非自己横断的な埋め込みの集合がメイジャーであることを示す。
• 強い横断性の定義を用いて、交点における単位法線の線形独立性に横断性条件を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の共形計量は、任意の固定された部分多様体に対して、すべての単純な$g$-最小埋め込みが横断的であることを保証するか？
• RQ2 一般計量は、2次元面積最小化整数キャリアにおける非横断的自己交差を排除できるか？
• RQ3 一般計量のもとで、任意の2次元局所面積最小化フラットチェーンmod 2の台は滑らかに埋め込まれた最小曲面であるか？
• RQ4 これらの結果は、指定された平均曲率の埋め込みへと拡張可能か？
• RQ5 一般計量摂動の下で、最小曲面の重複度および横断性に関する一般的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 与えられた計量に共形的な一般の滑らかな計量に対して、すべての単純な$g$-最小埋め込みは任意の固定された滑らかな部分多様体に対して横断的である。
• 一般計量のもとで、境界のない2次元面積最小化整数キャリアの台は滑らかに埋め込まれた最小曲面に等しい。
• 同じ結論はmod 2のフラットチェーンに対しても成り立つ：局所面積最小化2次元キャリアは重複度1の滑らかに埋め込まれた最小曲面である。
• 強い横断性（交点における単位法線の線形独立性）は、最小埋め込みに対して一般に成り立つ。
• 最小埋め込みが横断的または自己横断的でない計量の集合は、滑らかな計量の空間においてメイジャーである。
• 定数および指定された平均曲率の埋め込みに対しても、同様の一般的正則性が拡張されている。