[論文レビュー] Generic vanishing, gaussian maps, and Fourier-Mukai transform

Giuseppe Pareschi|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Cohen-Macaulay多様体上の線束の高次直接像の一般化された消失基準を、グローバルコガウス写像を用いて確立し、アーベル多様体上のフーリエ＝ムカイ変換を応用することで、グリーン＝ラザルフェルトの一般化された消失定理のより強い代数的バージョンを証明し、コンpact Kähler設定における予想を確認する。

ABSTRACT

In the first part of this paper we prove a vanishing criterion for higher direct images of projective families of line bundles on a Cohen-Macaulay variety X. The result involves certain first-order deformations of certain curves on X, and makes essential use of the notion of global co-gaussian maps, a generalization of Wahl's gaussian maps. In the second part we apply the criterion above, combined with Fourier-Mukai transform on abelian varieties, to prove an algebraic version of Green-Lazarsfeld's Generic Vanishing Theorem. In fact we prove a stronger result concerning higher direct images of Poincaré line bundles, which -- in the compact Kähler setting -- was conjectured by Green and Lazarsfeld and was recently proved, by completely different methods, by Hacon (math.AG/0308198)

研究の動機と目的

• 曲線の1次変形を用いて、Cohen-Macaulay多様体上の線束の高次直接像の消失基準を構築すること。
• この目的のため、ワールのガウス写像を一般化したグローバルコガウス写像を一般化すること。
• アーベル多様体上のフーリエ＝ムカイ変換と併用して、消失基準を適用すること。
• グリーン＝ラザルフェルトの一般化された消失定理のより強い代数的バージョンを確立すること。
• グリーンとラザルフェルトによる、コンパクトKähler設定におけるピカード線束の高次直接像に関する予想を確認すること。

提案手法

• Cohen-Macaulay多様体上の曲線の変形を取り扱うために、ワールのガウス写像の一般化としてグローバルコガウス写像を導入する。
• 1次変形を用いて、Cohen-Macaulay多様体 X 上の線束の族に対して、消失基準を適用し、コホモロジー的性質を制御する。
• アーベル多様体上のフーリエ＝ムカイ変換を用いて、線束のコホモロジー的性質とその変換との関係を確立する。
• 消失基準とフーリエ＝ムカイ変換を組み合わせることで、高次直接像の一般化された消失結果を導出する。
• アーベル多様体上のピカード線束の構造を活用して、一般化された消失の主張を強化する。
• フーリエ＝ムカイ変換の双対性および整数性の性質に依拠して、コホモロジー的消失を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cohen-Macaulay多様体上の線束の高次直接像は、変形論的データをどのように制御できるか？
• RQ2 グローバルコガウス写像は、古典的ガウス写像技法を高次元の族へ拡張する上で果たす役割は何か？
• RQ3 フーリエ＝ムカイ変換は、一般化された消失定理のより強い代数的バージョンを証明するために用いることができるか？
• RQ4 アーベル多様体上のピカード線束のコホモロジー的性質は、代数的設定においてどの程度一般化された消失を満たすか？
• RQ5 提案された消失基準は、ハコンによる最近の異なる手法による証明と比較して、どのように異なるか？

主な発見

• 曲線の1次変形に依存する、Cohen-Macaulay多様体上の線束の高次直接像のための新しい消失基準が確立された。
• 古典的ガウス写像理論を一般化するための主要な技術的道具として、グローバルコガウス写像が導入された。
• 論文は、グリーン＝ラザルフェルトの一般化された消失定理のより強い代数的バージョンを証明した。
• アーベル多様体上のピカード線束の高次直接像は一般化された消失を満たし、グリーンとラザルフェルトによる予想が確認された。
• 結果は、コンパクトKähler設定におけるハコンの最近の証明と整合的であるが、全く異なる手法によって達成された。
• グローバルコガウス写像とフーリエ＝ムカイ変換の組み合わせにより、一般化された消失を研究するための新しい代数的枠組みが得られた。