[論文レビュー] Generically multiple transitive algebraic group actions

Vladimir L. Popov|ArXiv.org|Sep 2, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 23被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、連結な代数群 G の一般的推移度（gtd）を導入する。gtd(G) は、G がある非特異代数的多様体 X に一般に n 回推移的に作用するような最大の n として定義され、X^n における対角的 G-作用が開軌道を持つことを意味する。本研究では、可解群は gtd ≤ 2、単純群は gtd = 1 を満たすことが示され、再帰的群に対しては、パラボリック商 G/P を用いて gtd(G) が明示的に計算可能であり、特定の最大パラボリック部分群で最大の gtd が達成されることを示し、M. Burger が提起した (G/P)^3 における開軌道の存在に関する問題を解決する。

ABSTRACT

With every nontrivial connected algebraic group $G$ we associate a positive integer ${ m gtd}(G)$ called the generic transitivity degree of $G$ and equal to the maximal $n$ such that there is a nontrivial action of $G$ on an irreducible algebraic variety $X$ for which the diagonal action of $G$ on $X^n$ admits an open orbit. We show that ${ m gtd}(G)\leqslant 2$ (respectively, ${ m gtd}(G)= obreak 1$) for all solvable (respectively, nilpotent) $G$, and we calculate ${ m gtd}(G)$ for all reductive $G$. We prove that if $G$ is nonabelian reductive, then the above maximal $n$ is attained for $X=G/P$ where $P$ is a proper maximal parabolic subgroup of $G$ (but not only for such homogeneous spaces of $G$). For every reductive $G$ and its proper maximal parabolic subgroup $P$, we find the maximal $r$ such that the diagonal action of $G$ (respectively, a Levi subgroup $L$ of ~$P$) on $(G/P)^r$ admits an open $G$-orbit (respectively, $L$-orbit). As an application, we obtain upper bounds for the multiplicities of trivial components in some tensor product decompositions. As another application, we classify all the pairs $(G, P)$ such that the action of $G$ on $(G/P)^3$ admits an open orbit, answering a question of {\sc M. Burger}.

研究の動機と目的

• 連結代数群の一般的推移度（gtd）を定義・計算し、複数回推移的群作用の概念を一般化すること。
• 単純代数群 G がその適切な最大パラボリック部分群 P に対して (G/P)^3 に開軌道を持つかどうかという M. Burger の問いを解決すること。
• G が G/P に一般に 3 回推移的に作用するようなすべてのペア (G, P) を分類すること。
• gtd 理論を用いて、テンソル積分解における自明表現成分の重複度に対する上界を提供すること。

提案手法

• G が非自明な非特異多様体 X に作用する場合、X^n における対角的 G-作用が開軌道を持つような最大の n を gtd(G) として定義する。
• 表現論と幾何的不変量論を用いて、旗多様体 G/P の積における開軌道の存在を分析する。
• Schofield の研究を基に、クイバー表現および二次形式の結果を応用し、型 A の群に対して gtd を計算する。具体的には、Rep(V_d, λ) における GL_λ-軌道の存在には ⟨λ,λ⟩ > 0 が条件となる。
• 同一型不変性とレヴィ部分群の還元を用いて、gtd(G) を単純成分の gtd に結びつける。特に再帰的群に対して有効である。
• ワイル群の作用と反射関手（r_i）を用い、次元ベクトルの合同類に基づいて問題を基本的ケースに還元する。
• n·dim X > dim G が gtd(G) > n であるための必要条件であることを用い、最大の gtd(G) を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの連結単純代数群 G と適切な最大パラボリック部分群 P に対して、G は (G/P)^3 に開軌道を持つか？
• RQ2 どの連結代数群 G に対して、ある非特異多様体 X に一般に n 回推移的に作用する最大の n が存在するか？
• RQ3 特に再帰的群に対して、gtd は同一型や群の直積に関してどのように振る舞うか？
• RQ4 どの再帰的群が最大の gtd を達成し、どのパラボリック部分群 P に対して gtd(G:G/P) が最大になるか？
• RQ5 gtd 理論から導かれる、再帰的群の非自明な既約表現のテンソル積における自明表現成分の正確な上界は何か？

主な発見

• 可解群 G に対しては、gtd(G) ≤ 2 が成り立ち、単純群 G に対しては gtd(G) = 1 である。
• 再帰的群 G に対しては、gtd(G) はその単純成分 S_i における gtd(S_i) の最大値に等しく、任意の同一型 Ḡ → G に対して gtd(G) = gtd(Ḡ) が成り立つ。
• 型 A_l の G に対しては、gtd(G:G/P_i) = m_{li} であり、ここで m_{li} は a < (l+1)^2 / (i(l+1−i)) を満たす最大の整数 a である。また gtd(G) = l+2 である。
• 非アーベルな再帰的群 G に対しては、最大の gtd(G) は適切な最大パラボリック部分群 P で達成され、すべての古典的および例外型に対して gtd(G:G/P) が明示的に計算可能である。
• 本研究では、G が (G/P)^3 に開軌道を持つようなすべてのペア (G,P) を分類し、M. Burger の問いに答えている。
• 理論により、再帰的群の既約表現のテンソル積における自明表現成分の重複度に対する上界が得られる。