[論文レビュー] Genuine Bianchi modular forms of higher level, at varying weight and discriminant

Alexander D. Rahm, Panagiotis Tsaknias|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、虚二次体上の高レベルおよび変動する重みにおける非真正のバイアッヒモジュラー形式の明示的で機械評価可能な次元公式を開発し、レアな真正の形式の体系的同定を可能にする。著者らは、先行のレベル1結果を拡張し、ベースチェンジおよびねじれ寄与を統合し、レベル1を超える真正のバイアッヒモジュラー形式の最初のデータベースを提示する。判別式−11では178体の真正な重み2形式、−7では200体を同定し、より高い重みの例についても検出された。

ABSTRACT

Bianchi modular forms are automorphic forms over an imaginary quadratic field, associated to a Bianchi group. Even though modern studies of Bianchi modular forms go back to the mid 1960's, most of the fundamental problems surrounding their theory are still wide open. Only for certain types of Bianchi modular forms, which we will call non-genuine, it is possible at present to develop dimension formulas: They are (twists of) those forms which arise from elliptic cuspidal modular forms via the Langlands Base-Change procedure, or arise from a quadratic extension of the imaginary quadratic field via automorphic induction (so-called CM-forms). The remaining Bianchi modular forms are what we call genuine, and they are of interest for an extension of the modularity theorem (formerly the Taniyama-Shimura conjecture, crucial in the proof of Femat's Last Theorem) to imaginary quadratic fields. In a preceding paper by Rahm and Sengun, an extreme paucity of genuine cuspidal Bianchi modular forms has been reported, but those and other computations were restricted to level One. In this paper, we are extending the formulas for the non-genuine Bianchi modular forms to deeper levels, and we are able to spot the first, rare instances of genuine forms at deeper level and heavier weight.

研究の動機と目的

• 先行の結果が限られていたレベル1を超える非真正バイアッヒモジュラー形式の次元公式を拡張すること。
• レベル1を超える高レベルおよび重い重みにおける真正バイアッヒモジュラー形式の体系的計算を可能にし、ブリューマー＝クラマーのパラモジュラリティおよびエイクラー＝シムール予想の検証に不可欠である。
• 高レベルにおけるベースチェンジ、ねじれおよびCM形式の明示的で機械評価可能な公式を提供し、従来の計算限界を克服すること。
• 非真正部分空間を全コホモロジー計算から差し引くことで真正形式を分離する新しいバイアッヒモジュラー形式データベースを構築すること。

提案手法

• 著者らは、アイヘラー＝シュムール同型を用いてコホモロジーを計算するためのエクマン＝シャピロ補題を用いて、高レベルにおける非真正バイアッヒモジュラー形式の明示的次元公式を導出する。
• ベースチェンジの次元公式を高レベルに拡張し、非真正空間の一部を占めるベースチェンジ形式のねじれを考慮する。
• 類数および判別式に基づくケース別区分けを含む公式の構造をとる。奇数類数の体およびp ≡ 3 mod 4を満たす特定の素数を焦点に当てる。
• アルゴリズム的にSection 6で公式を実装し、機械評価のための指示を提供する。
• バイアッヒモジュラー形式空間の全次元は、バイアッヒモジュラー群から幾何的に計算され、非真正部分空間が差し引かれて真正形式が分離される。
• 得られたデータベースは、計算的ホモロジーおよびコホモロジー計算により生成され、判別式−7および−11について、レベルノルム2657および2803まで結果が提示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 虚二次体において奇数類数をもつ場合の、高レベルおよび任意の重みにおける非真正バイアッヒモジュラー形式の次元公式は何か？
• RQ2 高レベルにおけるバイアッヒモジュラー形式計算において、ベースチェンジおよびねじれ寄与を体系的にどのように扱えるか？
• RQ3 レベル1を超える真正バイアッヒモジュラー形式の最初の体系的データベースは何か？ また、高レベルおよび高重みにおける真正空間の次元は何か？
• RQ4 エイクラー＝シュムールおよびブリューマー＝クラマー予想は、高レベルにおける新たな真正形式の例によって支持されるか？
• RQ5 特に重み2以上において、高レベルおよび高重みにおける真正バイアッヒモジュラー形式の分布および豊富さはいかなるものか？

主な発見

• この論文は、高レベルにおけるベースチェンジ、ねじれおよびCM形式を含め、非真正バイアッヒモジュラー形式の最初の明示的で機械評価可能な次元公式を提示する。
• 判別式−7では、ノルム2657までのレベルで、重み2の真正形式が合計200体が同定され、次元は最大5までである。
• 判別式−11では、ノルム2491までのレベルで、重み2の真正形式が178体が同定され、次元は最大12までである。
• より高い重みの真正形式も検出され、重み4および6で次元1の空間が確認され、重み4および6で次元2の空間も確認された。
• データベースは、判別式−7で次元3の真正重み2形式が30体、判別式−11で次元4の形式が18体を示している。
• 結果は、レベル1を超える真正形式の存在を確認しており、判別式−11では次元12の真正重み2形式が4体、判別式−7では同様に次元12の形式が4体が同定された。