[論文レビュー] Genus of curves in generic hypersurfaces

Bin Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、射影空間内の滑らかでない超曲面内の滑らかな曲線の1次変形に対する新しい障害公式を導入し、種数公式を導出し、n ≥ 3 のとき、一般の超曲面において滑らかな楕円曲線が存在できないことを証明する。この結果は、Clemensの境界を改善し、多様体の対の変形理論における微妙な幾何的障害を明らかにする。

ABSTRACT

This is the continuation of our paper [10]. In this paper which is self contained, we would like to give a different obstruction formula to the FIRST order deformation of the pair of a smooth curve and a smooth hypersurface. This obstruction formula leads to a genus formula for a smooth curve in a smooth hypersurface. As an application we show that smooth elliptic curves in a smooth hypersurface of degree $$h\geq 2n-1$$ in the projective space $\mathbf P^n, n\geq 3,$ can't deform in the first order to all hypersurfaces of the same degree. In particular, there are no smooth elliptic curves in generic hypersurfaces of degree $$h\geq 2n-1.$$ This application in return leads to a study of the deformation of the pair mentioned above.

研究の動機と目的

• P^n における滑らかな超曲面内の滑らかな曲線の1次変形に対する、従来の研究とは異なる新しい障害公式の構築。
• この新しい障害条件を用いて、滑らかな曲線が滑らかな超曲面に埋め込まれた場合の種数公式を導出すること。
• 変形理論におけるペアの1次変形と超曲面のモジュライ空間内での完全変形の幾何的差異を調査すること。
• 滑らかな楕円曲線が、次数 h ≥ 2n-1 のすべての超曲面に変形できないこと、特に一般のそれらの超曲面においては存在しないことを確立すること。

提案手法

• ペア $ C_0 \subset f_0 $ の1次変形を、写像 $ P_S^s: H^0(\bar{c}_0^*(TX_S)) \to T_{f_0}S $ を用いて形式化し、ペアの無限小変形を表す。
• 2つのパラメータ空間を考察する：$ S = \mathbf{C}^{h+1} $ は $ f_0 + \sum a_i L_0 \cdots \hat{L}_i \cdots L_h $ の形の超曲面をパラメータ化し、$ S = \mathbf{P}(H^0(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(h))) $ は次数 h の全超曲面空間である。
• 点 $ q \in C_0 $ において、codimension 2 の部分空間 $ E_q \subset T_{f_0}|_q $ を構成し、特定の単項式 $ <L_0L\cdots L> $ が $ E_q $ に属するが、$ <L_0JL\cdots L> $ は属しないようにする。
• 局所解析的パラメータ化 $ U_i = \{ L + x_i J \} $ を用いて、部分多様体 $ S_{E_q,\epsilon} $ を定義し、ヤコビアン行列式が消えないことにより、点 $ (L_0, L, \dots, L) $ の近傍でそれが滑らかでかつ既約であることを示す。
• $ GL(n+1) $-対称性を用いて、$ H^0(c_0^*(N_{C_0}f_0(1))) $ 内に、障害写像の像に属さない切断を構成し、次元不等式 $ \dim H^0(c_0^*(N_{C_0}f_0(1))) > \dim B $ を証明する。
• 点 $ q $ において $ L_0 <L_1 \cdots L_h> - L_k <L_0L_1 \cdots \hat{L}_k \cdots L_h> \notin E_q $ ならば、対応する切断は障害部分空間 $ B $ に属さず、障害が消えないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな曲線 $ C_0 $ が、P^n 内の固定次数の滑らかな超曲面族内で1次変形可能であるための必要条件（障害）は何か？
• RQ2 本稿で提示する新しい障害公式は、[9] に記載されたものとどのように異なり、ペア $ (C_0, f_0) $ の変形に関してどのような幾何的洞察を提供するか？
• RQ3 次数 $ h $ と次元 $ n $ がどのような条件下で、P^n 内の一般の超曲面において滑らかな楕円曲線が存在しなくなるか？
• RQ4 H^1(N_{C_0}f_0) の消えることと、ペア $ C_0 \subset f_0 $ の完全変形の存在との正確な関係は何か。特に $ H^1(N_{C_0}f_0) \neq 0 $ の場合にどうか？
• RQ5 ペアの1次変形の空間の次元が、障害部分空間 $ B $ の次元よりも厳密に大きくなることはあり得るか？その場合、このような曲線の存在にどのような含意があるか？

主な発見

• 滑らかな曲線が滑らかな超曲面内で1次変形可能であるための新しい障害公式が導出され、[9] に記載されたものとは異なり、多様体のペアにおける変形障害の研究に適用可能である。
• 滑らかな曲線の種数が埋め込みの幾何と障害構造に依存することを示し、新しい障害条件を用いて種数公式を導出する。
• n ≥ 3 のとき、P^n 内の次数 h ≥ 2n - 1 の一般の超曲面において、滑らかな楕円曲線は存在しないことが証明され、Clemensの境界を1つ改善する。
• h ≥ 2n - 1 のとき、1次変形の障害は消えないため、このような曲線は同じ次数の近傍のすべての超曲面に変形できない。
• $ H^0(c_0^*(N_{C_0}f_0(1))) $ の次元は、障害部分空間 $ B $ の次元を上回り、1次変形の空間が障害写像の像よりも厳密に大きいことを示す。
• この結果は、変形理論における微妙な幾何的差異を明らかにする：H^1(N_{C_0}f_0) ≠ 0 であっても、高次の障害によりペアは変形できないことがある。これは、Kodairaの消滅条件が必要であるとは限らないことを示唆する。