[論文レビュー] Genus Two Partition and Correlation Functions for Fermionic Vertex Operator Superalgebras II

Michael P. Tuite, Alexander Zuevsky|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2013

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランク2の自由フェルミオン頂点 operator 超代数のρ形式論において、種数2の分配関数およびn点相関関数の生成関数を計算する。ボソン化と種数1のインターリーブ相関関数を用いて、種数1のSzegőカーネルの無限大および有限行列式を含む結果を導出し、部分群Sp(4,Z)における正則性およびモジュラー不変性を証明する。また、種数2のtheta系列に対するヤコビ三重積恒等式の類似が得られる。

ABSTRACT

We define and compute the continuous orbifold partition function and a generating function for all $n$-point correlation functions for the rank two free fermion vertex operator superalgebra on a genus two Riemann surface formed by self-sewing a torus. The partition function is proportional to an infinite dimensional determinant with entries arising from torus Szego kernel and the generating function is proportional to a finite determinant of genus two Szego kernels. These results follow from an explicit analysis of all torus $n$-point correlation functions for intertwiners of the irreducible modules of the Heisenberg vertex operator algebra. We prove that the partition and $n$-point correlation functions are holomorphic on a suitable domain and describe their modular properties. We also describe an identity for the genus two Riemann theta series analogous to the Jacobi triple product identity.

研究の動機と目的

• ランク2の自由フェルミオン頂点 operator 超代数のρ形式論における種数2の分配関数およびn点相関関数の生成関数を計算すること。
• 分配関数および相関関数が、セーミング領域の適切な被覆空間上で正則的かつモジュラー不変であることを確立すること。
• 種数2のリーマンtheta系列に対するヤコビ三重積恒等式の類似を導出すること。
• 種数1のインターリーブ相関関数の結果を一般化されたVOAに拡張し、トーラスの自己セーミングを用いて種数2の構成に応用すること。
• 相関関数がセーミング領域上で多価的である性質が、被覆空間への上昇によってどのように解消されるかを分析すること。

提案手法

• ρ形式論を用いて、モジュラーパラメータτおよびセーミングパラメータρを用い、2点間隔wのトーラスを2点で自己セーミングすることで種数2のリーマン面を構成する。
• ボソン化を用いて、ランク2の自由フェルミオンVOSAをZ格子VOSAと同一視し、すべてのα ∈ ℂに対して一般化されたVOA M ⊗ e^αのインターリーブを扱えるようにする。
• 楕円プライム形式および準モジュラー形式を用いて、一般化されたVOA M ⊗ e^αにおけるインターリーブの種数1 n点相関関数を計算する。
• 種数1 n点関数の生成関数を、種数1のSzegőカーネルの有限行列式として導出する。
• 種数1のSzegőカーネルデータと乗数から得られる無限行列Tと、主にdet(I - T)に依存する、種数2の分配関数および相関関数を構成する。
• [TZ1]の乗数を用いて、種数2のSzegőカーネルS^(2)を種数1のデータの項で明示的に表現し、カーネル式に(I - T)^{-1}が現れる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク2の自由フェルミオンVOSAのρ形式論における種数2の分配関数を、どのように明示的に計算できるか？
• RQ2 すべての種数2 n点相関関数の生成関数の構造は何か？また、種数1のデータとどのように関係するか？
• RQ3 分配関数および相関関数は、セーミング領域D^ρ上でどのように正則的かつモジュラーに振る舞うか？
• RQ4 リーマンtheta系列に対する種数2のヤコビ三重積恒等式の類似は何か？
• RQ5 D^ρ上での相関関数の多価的性質は、被覆空間への上昇によってどのように解消されるか？

主な発見

• 種数2の分配関数は、種数1のSzegőカーネルデータと乗数から構成される無限行列Tに対して、det(I - T)に比例し、セーミング領域D^ρ上で正則的である。
• 種数2 n点相関関数の生成関数は、種数1のインターリーブ相関関数から導かれる、種数2のSzegőカーネルの有限行列式に比例する。
• 分配関数および相関関数はD^ρ上で多価的であるが、適切な被覆空間上で正則関数に上昇する。
• 関数は、種数2のシンプレクティック群Sp(4,Z)の部分群におけるモジュラー不変性を示す。
• 種数2のリーマンtheta系列に対する恒等式が導出され、ヤコビ三重積恒等式の類似となる。
• 一般化されたVOA M ⊗ e^αにおける種数1 n点相関関数は、シフトされたバーラソモードおよびq級数と楕円関数を含むトレース公式を用いて明示的に計算される。