[論文レビュー] Genus Two Stable Maps, Local Equations and Modular Resolutions

Yi Hu, Jun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、 genus two の前安定曲線の相対的ピック層のモジュラーなブLOWUPの定常列を構成し、自己同型的導来対象 $\lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"\gt;\mathbf{R}\pi_*\mathfrak{f}^*\mathscr{O}_{\mathbb{P}^n}(k)\lt;/math\gt;$ の局所的対角化を達成する。これにより、モジュライ空間 $\overline{M}_2(\mathbb{P}^n,d)$ の特異点が解消され、正規交叉特異点のみを持つ、期待される次元を持つ滑らかな主要成分を有する特異点解消空間が得られる。

ABSTRACT

We provide a geometric construction of a sequence of modular blowups of the Artin stack parameterizing pre-stable pairs consisting of a genus-two nodal curve and a smooth divisor. The resulting stack locally diagonalizes the tautological derived objects associated with the moduli of stable maps from genus-two curves to projective space. As a consequence, the singularities of the main component of the moduli space of stable maps are resolved, and the entire space admits only normal crossing singularities. Our approach is expected to generalize to higher genera.

研究の動機と目的

• projective space への genus two の安定写像のモジュライ空間 $\overline{M}_2(\mathbb{P}^n,d)$ のモジュラーな特異点解消を構成すること。
• 定常的導来対象 $\mathbf{R}\pi_*\mathfrak{f}^*\mathscr{O}_{\mathbb{P}^n}(k)$ を、定常的なブLOWUPの列によって解消すること。
• 最終的なブLOWアップスタックが、これらの導来対象を局所的に対角化できることを保証し、位相的不変量の評価を可能にすること。
• 特異点解消空間の主要成分が、$d > 2$ の場合に期待される次元 $d(n+1) - n + 3$ を有することを証明すること。
• より高次の genus のモジュライ空間へ拡張可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• genus two の前安定曲線の相対的ピック層の上に、$\widetilde{\mathfrak{P}}_2 \to \mathfrak{P}_2$ という定常的なモジュラーなブLOWUPの列を構成する。
• 局所的モジュラーパラメータを用いて、定常的二項複体 $\mathbf{R}\pi_*\mathfrak{f}^*\mathscr{O}_{\mathbb{P}^n}(k)$ の退化集合を分析する。
• 滑らかな部分に有効な除数を持つペア $(C,D)$ のアーチンスタック $\mathfrak{M}_2^{\rm div}$ を用いて、対角化問題をモデル化する。
• 局所的に構造的ホモオモルフィズム $\varphi: \mathscr{O}_\mathcal{V}^{\oplus m+1} \to \mathscr{O}_\mathcal{V}^{\oplus 2}$ を表現し、ブLOWUPによってそれを対角化する。
• 三段階のブLOWアップを実行し、特定の退化条件を標的とする段階を経て、$\varphi$ の局所的対角化を達成する。
• ユニバーサルファミリーおよび導来対象をブLOWアップスタック $\widetilde{M}_2(\mathbb{P}^n,d)$ に引き戻し、滑らかさと次元の確認を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュライ空間 $\overline{M}_2(\mathbb{P}^n,d)$ は、定常的なモジュラーなブLOWアップの列によって特異点解消可能か？
• RQ2 ブLOWアップの列の後、導来対象 $\mathbf{R}\pi_*\mathfrak{f}^*\mathscr{O}_{\mathbb{P}^n}(k)$ は局所的に対角化可能か？
• RQ3 特異点解消空間 $\widetilde{M}_2(\mathbb{P}^n,d)$ の主要成分は、期待される次元 $d(n+1) - n + 3$ を有するか？
• RQ4 $\widetilde{M}_2(\mathbb{P}^n,d)$ の特異点はすべて正規交叉特異点に限られるか？
• RQ5 この方法は、より高次の genus のモジュライ空間 $\overline{M}_g(\mathbb{P}^n,d)$ へ拡張可能か？

主な発見

• 定常的なモジュラーなブLOWアップの列の後、導来対象 $\mathbf{R}\pi_*\mathfrak{f}^*\mathscr{O}_{\mathbb{P}^n}(k)$ は局所的に対角化可能である。
• 主要成分 $\widetilde{M}_2(\mathbb{P}^n,d)$ は $d > 2$ の場合に滑らかで、次元 $d(n+1) - n + 3$ を有する。
• 空間全体 $\widetilde{M}_2(\mathbb{P}^n,d)$ は正規交叉特異点のみを有する。
• $k \geq 1$ の場合、主要成分上で直接像層 $\widetilde{\pi}_{N*}\widetilde{\mathfrak{f}}_N^*\mathscr{O}_{\mathbb{P}^n}(k)$ はランク $kd - 1$ の局所自由層である。
• ブLOWアップ構成は導来モジュラーなブLOWアップ枠組みと整合しており、従来の代数的幾何学的手法を改善する。
• この方法は、より高次の genus のモジュライ空間 $\overline{M}_g(\mathbb{P}^n,d)$ の特異点解消への道筋を提供する。