[論文レビュー] Genus two Veech surfaces arising from general quadratic differentials

Sergey A. Vasilyev|ArXiv.org|Apr 9, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、アーベル微分の平方でない一般の二次微分から生じる genus 2 ヴィーチ曲面を分類する。(2,2) および (2,1,1) のストラタにおいて、すべての such 曲面が算術的であることを証明する一方、(1,1,1,1) の場合、ヴィーチ曲面と Weierstrass 点に特異点を持つ genus 3 ヒッパーエルプティック ヴィーチ曲面との対応関係を確立し、genus 2 ヴィーチ曲面の非分岐二重被覆を用いてこのストラタにおいて非算術的例を構成する。

ABSTRACT

We study Veech surfaces of genus 2 arising from quadratic differentials that are not squares of abelian differentials. We prove that all such surfaces of type (2,2) and (2,1,1) are arithmetic. In (1,1,1,1) case, we reduce the question to abelian differentials of type (2,2) on hyperelliptic genus 3 surfaces with singularities at Weierstrass points, and we give an example of a non-arithmetic Veech surface.

研究の動機と目的

• アーベル微分の平方でない一般の二次微分から生じる genus 2 ヴィーチ曲面を分類すること。
• このようなヴィーチ曲面が算術的であるかどうかを特定すること、特にストラタ (2,2)、(2,1,1)、および (1,1,1,1) において。
• QM₂(1,1,1,1) における genus 2 ヴィーチ曲面と、ΩM₃(2,2) において Weierstrass 点に特異点を持つハイパーエルプティック genus 3 ヴィーチ曲面との対応関係を確立すること。
• 非分岐二重被覆を用いて、genus 2 ヴィーチ曲面から (1,1,1,1) ストラタにおける非算術的ヴィーチ曲面の明示的例を構成すること。

提案手法

• genus 2 曲面上の二次微分を、genus 3 曲面上のアーベル微分に引き上げる二重被覆構成を用い、既知のアーベル微分に関する結果への還元を可能にする。
• ハイパーエルプティック対合を適用して Weierstrass 点を特定し、特に零点および固定点の位置に注目して二重被覆の構造を分析する。
• Weierstrass 点間のパスにハイパーエルプティック対合を作用させることで得られるループに沿って、曲面を切り貼り直して genus 3 曲面を構成する。
• QM₂(1,1,1,1) におけるヴィーチ曲面と、ΩM₃(2,2) において Weierstrass 点に特異点を持つハイパーエルプティックヴィーチ曲面との間の対応関係を用いて、性質を転送する。
• 例えば L 型台のスイスクロス構成など、切り貼り再構成による明示的幾何的構成を実施する。
• 二次微分が誘導する平坦構造上の Veech 群の作用を分析することにより、算術性または非算術性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次微分がアーベル微分の平方でない場合、ストラタ QM₂(2,2) におけるすべての genus 2 ヴィーチ曲面が算術的であるか？
• RQ2 同様の条件下で、ストラタ QM₂(2,1,1) におけるすべての genus 2 ヴィーチ曲面が算術的であるか？
• RQ3 QM₂(1,1,1,1) における genus 2 ヴィーチ曲面と、ΩM₃(2,2) において Weierstrass 点に特異点を持つハイパーエルプティック genus 3 ヴィーチ曲面との間には一対一対応があるか？
• RQ4 非算術的 genus 2 ヴィーチ曲面 ΩM₂(2) から、QM₂(1,1,1,1) における非算術的ヴィーチ曲面を明示的に構成できるか？
• RQ5 genus 2 ヴィーチ曲面の二重被覆が、QM₂(1,1,1,1) におけるヴィーチ曲面を生じるための条件は何か？

主な発見

• 二次微分がアーベル微分の平方でない場合であっても、ストラタ QM₂(2,2) におけるすべてのヴィーチ曲面が算術的である。
• 同様の条件下で、ストラタ QM₂(2,1,1) におけるすべてのヴィーチ曲面が算術的である。
• QM₂(1,1,1,1) におけるヴィーチ曲面と、ΩM₃(2,2) において Weierstrass 点に特異点を持つハイパーエルプティックヴィーチ曲面との間には一対一対応が存在する。
• 非算術的 genus 2 ヴィーチ曲面 ΩM₂(2) の非分岐二重被覆を用いて、QM₂(1,1,1,1) における非算術的ヴィーチ曲面を構成できる。
• 各 genus 2 ヴィーチ曲面 ΩM₂(2) に対して、二重被覆の構成における2つの Weierstrass 点の選び方に応じて、QM₂(1,1,1,1) に高々10個の異なるヴィーチ曲面が得られる。
• 得られた genus 2 曲面 QM₂(1,1,1,1) は、ねじれのある同一化を伴う H 型の曲面として幾何学的に実現され、底面の曲面が非算術的である場合には非算術的性質が確認される。