[論文レビュー] Genus zero Gromov-Witten axioms via Kuranishi atlases

Robert Castellano|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、トランスバース部分アトラスの概念を導入し、$C^1$ ストラティファイドスムーズ カランシーアトラスが任意の仮想次元に対して仮想基本類を定義するのに十分であることを証明することで、カランシーアトラスを用いた genus zero Gromov-Witten 不変量の構成を完成させる。これらの不変量について、すべての Kontsevich-Manin 公理が満たされることを検証し、厳密な摂動理論とトランスバース性の技法を用いて genus zero の場合を完全に構成する。

ABSTRACT

A Kuranishi atlas is a structure used to build a virtual fundamental class on moduli spaces of $J$-holomorphic curves. They were introduced by McDuff and Wehrheim to resolve some of the challenges in this field. This paper completes the construction of genus zero Gromov-Witten invariants using Kuranishi atlases and proves the Gromov-Witten axioms of Kontsevich and Manin. To do so, we introduce the notion of a transverse subatlas, a useful tool for working with Kuranishi atlases.

研究の動機と目的

• カランシーアトラスを用いた genus zero Gromov-Witten 不変量の構成を、仮想次元がゼロでない場合にも拡張すること。
• 滑らかでないアトラスに一般化された $C^1$ ストラティファイドスムーズ カランシーアトラスに、仮想基本類の構成を拡張すること。
• 制約や摂動を扱うための主要な技術的道具としてのトランスバース部分アトラスの概念を導入し、それを活用すること。
• カランシーアトラスの枠組み内で、genus zero Gromov-Witten 不変量についてすべての Kontsevich-Manin 公理が満たされることを検証すること。
• 仮想次元 0 の場合を特に含め、低余次元部分集合を避けることができる摂動理論を $C^1$ SS アトラスに対して確立すること。

提案手法

• 安定写像のモジュライ空間を扱えるように、滑らかなカランシーアトラスの一般化として $C^1$ ストラティファイドスムーズ（$C^1$ SS）カランシーアトラスを導入する。
• 摂動を制御し、モジュライ空間内の制約と整合性を保つために、トランスバース部分アトラスを定義する。
• Gromov-Pietsch のトランスバース性拡張定理を適用し、開部分集合上でトランスバース性を達成するように、写像の摂動を小さなスケールで構成する。
• ネストドリダクションと適応摂動を用いて、異なるストラトゥム間でトランスバース性を維持しながら、忘却写像や評価写像と整合性を保つ。
• カットオフ関数と局所摂動を用いて、コンパクト部分集合上で得られたトランスバース性をより大きな定義域へ拡張し、全域的なトランスバース性を保証する。
• McDuff（2016）の結果を応用し、0次元のカランシーアトラスにおいて、摂動されたゼロ集合を完全にトップストラトゥムに選べることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 仮想次元がゼロでない任意の genus zero Gromov-Witten モジュライ空間に対して、$C^1$ SS カランシーアトラスを用いて仮想基本類を構成できるか？
• RQ2 トランスバース部分アトラスは、ホモロジー的およびドメインの制約と整合性を保つ摂動を制御するためにどのように利用できるか？
• RQ3 トランスバース性を保ちつつ、特に 0 次元の場合に低余次元部分集合を避ける摂動を構成することは可能か？
• RQ4 $C^1$ SS カランシーアトラスの枠組み内で、Kontsevich-Manin 公理の全セットを検証できるか？
• RQ5 写像の摂動が仮想基本類を保つように、十分に小さくかつトランスバース性を保つための条件は何か？

主な発見

• genus zero の $J$-正則写像のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}(A,J)$ には、$C^1$ ストラティファイドスムーズ カランシーアトラスが存在し、仮想次元は $d = 2n + 2c_1(A) + 2k - 6$ である。
• 任意の向き付け可能で弱い、$d$ 次元の $C^1$ SS カランシーアトラスがコンパクトなメトリクス空間 $X$ 上に存在する場合、仮想基本類 $[X]_{\mathcal{K}}^{vir} \in \check{H}_d(X;\mathbb{Q})$ は適切に定義される。
• 忘却写像 $\pi_0: U \to \overline{\mathcal{M}}_{0,k}^{\text{new}}$ は $C^1$ SS であり、Deligne-Mumford 空間の構造と整合性を保つ。
• genus zero Gromov-Witten 不変量は、$ev_k \times \pi_0$ による仮想基本類のプッシュフォワードを、サイクル代表元と交差させることで定義される。
• 0 次元の $C^1$ SS カランシーアトラスに対して、摂動されたゼロ集合を完全にトップストラトゥムに選べる。これにより、余次元 $\geq 2$ の部分集合を避けることができる。
• $C^1$ SS 推移摂動 $\nu$ を構成可能であり、$s_J + \widetilde{\nu}_J + \nu_{\pitchfork}$ が全定義域上でゼロに対してトランスバースになるようにできる。ここで $\nu$ と $\nu_{\pitchfork}$ は任意に小さく、前コンパクト部分集合に台を持つ。