[論文レビュー] Genus Zero Modular Functions

Bong H. Lian, Joshua L. Wiczer|ArXiv.org|Nov 9, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、べき級数およびボルケルト再帰を用いて、滑らかでない3次シュバルツ微分方程式を、滑らかでないモジュラー関数に対して体系的に構成する手法を開発する。Q値と呼ばれる、モジュラー関数のフーリエ展開から導かれる有理関数を計算することにより、その解が元のモジュラー関数を回復する微分方程式を導出する。これにより、微分方程式を用いた明示的な構成と解析が可能になる。

ABSTRACT

This project was sponsored through the Schiff Fellowship program of Brandeis University. This project involved using the power series method to construct a third order nonlinear ordinary differential equation, a Schwarzian equation, for each of the "genus zero" modular functions, described in the Conway-Norton paper. We first use the Borcherd recursion formuli to generate, in each case, a modular function up to whatever degree we desire, and then use the fact that there is a Schwarzian equation, determined by a single rational function we call a Q-value. By similar power series methods, we compute the coefficients of our rational function, and hence have all the necessary data to create a Schwarzian differential equation for each modular function. This equation can, in turn, be used to recover the modular function itself.

研究の動機と目的

• 滑らかでないモジュラー関数に対応する微分方程式を構築するための計算フレームワークを開発すること。
• モノストラス・ムーンシャインの中心的対象である、これらのモジュラー関数を支配する微分方程式を明示的に特定する課題に取り組むこと。
• 各滑らかでないモジュラー関数に対してシュバルツ微分方程式を定義する有理関数であるQ値を体系的に計算する手法を提供すること。
• べき級数およびフロベニウス法を用いて、微分方程式からモジュラー関数を再構成できるようにすること。

提案手法

• ボルケルト再帰式を用いて、滑らかでないモジュラー関数のフーリエ展開を任意の次数まで生成する。
• 正規化されたピカール＝フック方程式から導かれる2階線形微分方程式を解くためにフロベニウス法を適用する。
• 微分方程式の係数から有理関数としてQ値を計算し、これがシュバルツ方程式を完全に決定する。
• シュバルツ微分の恒等式 {w,z} = 2Q(z) を用いて、微分方程式の解とモジュラー関数との間を、独立解の比によって結ぶ。
• 微分方程式を、モジュラー関数 t(q) が解の比から回復できる形に変換する。
• 定数項を含むモジュラー関数に対しては、t[q] → t[q] + c と変換し、再び微分方程式を再計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、べき級数法を用いて、任意の滑らかでないモジュラー関数に対してシュバルツ微分方程式を体系的に導出できるか？
• RQ2 与えられた滑らかでないモジュラー関数に対して、微分方程式を定義する正確なQ値（有理関数）の形は何か？
• RQ3 解析接続およびべき級数解を用いて、関連する微分方程式からモジュラー関数を再構成できるか？
• RQ4 モジュラー関数が定数cでシフトされた場合、Q値はどのように変化するか？
• RQ5 滑らかでないモジュラー関数に対して、ピカール＝フック方程式とシュバルツ方程式の関係は何か？

主な発見

• 各滑らかでないモジュラー関数のQ値は、zに関する有理関数として計算され、14通りの異なる場合（例：11A, 14A, 15A, ..., 50Z）に対して明示的な式が提示されている。
• j不 invariant（11A）のQ値は、(1 - 12z + 66z² - 305z³ + 305z⁴ + ... ) / (4z²(-1 - 2z - 5z² + 4z³ + ... )²) として明示的に与えられ、z²²までの係数が示されている。
• 本手法により、ボルケルト再帰およびフロベニウス級数を用いて、モジュラー関数 t(q) の微分方程式が成功裏に構成された。
• 定数cによるモジュラー関数のシフトの変換則は、t[q] を t[q] + c に置き換え、Q値を再計算することで実装され、これはcが数値定数である場合にのみ可能である。
• 104Aモジュラー関数のQ値は、(1 + 4z⁴ + 982z⁸ + ... - 24816z²⁴) / (4z²(-1 - 2z⁴ + 23z⁸ + ... + 64z¹⁶)²) であり、本手法が高レベルのモジュラー関数に対しても適用可能であることを示している。
• 本手法は一般性を持ち、任意の滑らかでないモジュラー関数に適用可能であり、すべての必要なデータ（Q値、微分方程式、解）が記号計算を用いて任意の次数まで計算可能である。