[論文レビュー] Geodesic Centroidal Voronoi Tessellations: Theories, Algorithms and Applications

Zipeng Ye, Ran Yi+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、三角形メッシュとして表現された多様体上に、均一なリメッシュとコンテンツに敏感なスーパーピクセル／スーパーボクセル生成を可能にする、内在的幾何的構造として測地的重心ボロノイタイル化（GCVT）を提案する。測地的距離とLloyd反復に基づく効率的なアルゴリズムを導入し、画像ベースのGCVTおよびRCVT構築においてO(nK)の時間計算量とO(n)の空間計算量を達成。コンピュータグラフィックスおよびビジョン分野における強力な応用性を示している。

ABSTRACT

Nowadays, big data of digital media (including images, videos and 3D graphical models) are frequently modeled as low-dimensional manifold meshes embedded in a high-dimensional feature space. In this paper, we summarized our recent work on geodesic centroidal Voronoi tessellations(GCVTs), which are intrinsic geometric structures on manifold meshes. We show that GCVT can find a widely range of interesting applications in computer vision and graphics, due to the efficiency of search, location and indexing inherent in these intrinsic geometric structures. Then we present the challenging issues of how to build the combinatorial structures of GCVTs and establish their time and space complexities, including both theoretical and algorithmic results.

研究の動機と目的

• 三角形メッシュとして表現された多様体上に、コンピュータグラフィックスおよびビジョン分野での応用を想定した内在的幾何的構造（GCVT）を構築すること。
• 離散的かつC⁰連続なメッシュ上での組み合わせ的GCVT構造を、保証された均一性と効率性を伴って構築するという課題に取り組むこと。
• 多様体メッシュ上でのGCVT構築の時間的・空間的計算量の理論的・アルゴリズム的基盤を確立すること。
• 内在的測地的距離を用いて、均一なリメッシュとコンテンツに敏感なスーパーピクセル／スーパーボクセル生成を実現する実用的応用を可能にすること。
• 計算コストの高い測地的手法と高速な近似手法の間のギャップを埋めるために、RCVTを用いて正確性と効率性を両立させること。

提案手法

• 生成点が自身のセルの測地的質量重心と一致するボロノイタイル化としてのGCVTを提案し、均一性を保証する。
• 測地的距離を用いたLloyd法により、生成点とボロノイ領域を反復的に更新し、交互にボロノイ構築と重心計算を繰り返すことでGCVTに収束させる。
• メッシュグラフ上でDijkstraのアルゴリズムを用いて、1反復あたりO(n log n)時間で正確な測地的距離を計算。最適化されたラベル修正バージョンにより、O(n)に短縮される。
• ランドマーク多様体スケーリング（LMDS）を用いて、測地的ボロノイセルをR²に展開し、名目上の質量重心の高速近似を実現する。
• 埋め込み空間におけるユークリッド距離を用いることで、高価な測地的計算を回避する、高速近似手法として制限付き重心ボロノイタイル化（RCVT）を導入する。
• 時間的・空間的計算量を分析し、画像上でのGCVT（IMSLIC経由）およびRCVT（MSLIC経由）の両方において、K反復あたりO(nK)の時間計算量とO(n)の空間計算量を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、三角形メッシュとして表現された多様体上に、測地的距離に基づく重心ボロノイタイル化を一般化できるか？
• RQ2 離散的かつ滑らかでない多様体上での組み合わせ的GCVT構造を構築する際の理論的・アルゴリズム的課題は何か？
• RQ3 大規模データに対して、効率的かつ正確な測地的距離計算を反復的GCVT構築に統合するにはどうすればよいか？
• RQ4 RCVTは、幾何的均一性を保ちつつ、GCVTの高速かつ正確な近似としてどの程度有効に機能するか？
• RQ5 GCVTおよびRCVTアルゴリズムの時間的・空間的計算量は、入力サイズにどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• GCVTは多様体メッシュ上での均一タイル化であることが証明され、データ分割のための安定的かつ内在的な幾何的構造を提供する。
• 測地的距離の使用により、ボロノイセルが連結性を保つ。これは、表面における通常のユークリッドボロノイタイル化とは異なり、セルが非連結になる可能性があるのとは対照的である。
• IMSLICアルゴリズムは、DijkstraのアルゴリズムとLMDSに基づく重心近似を用いて、1反復あたりO(nK)時間とO(n)空間で近似的なGCVTを構築する。
• MSLICアルゴリズムは、埋め込み空間におけるユークリッド距離を用いて、1反復あたりO(nK)時間とO(n)空間でRCVTを計算し、収束を著しく高速化する。
• RCVTは、GCVTの幾何的忠実性とCCVTの計算効率性を組み合わせた有効なブリッジとして機能する。
• 実験的結果から、GCVTおよびRCVTの両方が、画像および3次元モデルにおいて高品質な均一リメッシュとコンテンツに敏感なスーパーピクセル／スーパーボクセル生成を可能にすることが示された。