[論文レビュー] Geodesic connectedness of semi-Riemannian manifolds

Miguel Sánchez|arXiv (Cornell University)|May 4, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、トポロジカルおよび変分的技法を用いて、マルチワーパード時空における測地線接続性の十分条件を確立する。もし繊維が凸であり、ワーピング関数が積分発散条件 (5.1) を満たしているならば、任意の因果的関係にある2点は因果的測地線で結ばれ、時空は測地線的に接続されている。非可縮性の繊維は、端点付近に時空的測地線を含む無限個の測地線をもたらす。

ABSTRACT

The question whether a Riemannian manifold is geodesically connected can be studied from geometrical as well as variational methods, and accurate results can be obtained by using the associated distance and related properties of the positive-definiteness. It is natural to state this problem in manifolds with (possibly non-smooth) boundary, and some conditions on this boundary has been studied. For Lorentzian manifolds, the results cannot be so general, and very different techniques has been introduced which are satisfactory for some classes of Lorentzian manifolds: spaceforms, disprisoning and pseudoconvex manifolds, stationary, globally hyperbolic or multiwarped spacetimes... Some of them are appliable to semi-Riemannian manifolds with higher index or even to manifolds with just an affine connection. Our purpose is to review these semi-Riemannian techniques, discussing the results and possible extensions.

研究の動機と目的

• 半リーマン多様体、特にマルチワーパード時空における測地線接続性の十分条件を確立すること。
• 変分的およびトポロジカル技法を、静的かつ分割可能な時空にとどまらず、より一般的なローレンツ幾何に拡張すること。
• 因果的関係にある点の間における測地線の存在および多重度を、繊維が凸である場合に特徴づけること。
• 物理的に重要な時空、例えばリーマン＝ノールストロームの中間時空およびシュバルツシルトの内部時空における測地線接続性を解明すること。
• 繊維の位相的性質（例えば、非可縮性）が無限個の測地線を生成する役割を分析すること。

提案手法

• 連続写像 μ̄(c,K)（接続測地線の初期条件を表す）のゼロ点の存在を示すために、ブローバーの位相的次数理論に基づくトポロジカル手法が用いられる。
• μ̄ の構成には、繊維成分における測地線を固定し、パラメータ空間 [0,1]^{m-1} × [K⁻,K⁺] から R^{m-1} への写像を定義する。この写像のゼロ点が解に対応する。
• 境界値 K⁻ および K⁺ におけるゼロ点の存在は、事前に得られたアーヴェズ＝ザイフェルト型の結果により保証され、任意の点から未来および過去方向の直線への因果的測地線の存在が保証される。
• パラメータに関する解の連続性および μ̄ の境界における振る舞いを用いて、連続なゼロ点の集合を構成し、接続測地線の存在を示す。
• 積分条件 (5.1) により、任意の点が未来および過去方向の因果的直線へ接続可能であることが保証され、グローバル測地線の構成が可能になる。
• 非可縮性の繊維の場合、この手法は繊維内の各ホモトピー類の測地線に適用され、解の無限多重性が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワーピング関数および繊維幾何のどのような条件下で、マルチワーパード時空は測地線的に接続されるか？
• RQ2 繊維の位相（例えば、可縮性）は、2点を結ぶ測地線の数にどのように影響するか？
• RQ3 変分法が失敗するような時空において、位相的次数理論を効果的に応用して測地線の存在を証明できるか？
• RQ4 因果的構造は、接続因果的測地線の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 境界を有する時空への結果の拡張は、境界がマルチワーパード構造を保つ場合にどのように可能になるか？

主な発見

• すべての繊維が凸であり、ワーピング関数が積分発散条件 (5.1) を満たしているならば、マルチワーパード時空における任意の因果的関係にある2点は因果的測地線で結ばれる。
• 積分条件 (5.1) がすべての繊維およびある c ∈ (a,b) に対して成り立つならば、時空は測地線的に接続されており、未来および過去方向の直線へ接続可能である。
• ある繊維 F_j が可縮でない場合、任意の2点の間には無限個の測地線が存在し、固定された点から直線 L[x] 上の点へ至る時空的測地線の数は、区間 I の端点に近づくにつれて無限大に発散する。
• 球面的位相を持つ繊維のおかげで、ワーピング関数の挙動が非理想であっても、リーマン＝ノールストロームの中間時空およびシュバルツシルトの内部時空における測地線接続性が、本手法により正当に証明された。
• 境界を有する時空に対しても、境界がマルチワーパード構造を保ち、繊維が凸のままである限り、この技法は一般化可能である。
• ブローバーの位相的次数を用いて、写像 μ̄(c,K) の連続なゼロ点の集合の存在が確立され、提示された条件下で接続測地線の存在が保証される。