[論文レビュー] Geodesic deviation and gravitational waves

Michel Leclerc|ArXiv.org|May 5, 2006

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、重力波物理学における長年の混乱を解消する。測地線ずれ方程式は、トレースレス・トレランスゲージにおける初期静止状態の粒子に対して座標加速度を生じさせないが、これは物理的効果がないことを意味するわけではない。物理的距離の変化は測定可能である。主な洞察は、標準教科書の結果（例：$ \ddot{\xi}^{\alpha} = \frac{1}{2}\ddot{h}^{\alpha}_{\ \beta}\xi^{\beta}$）がフレーム依存であり、検出器の固有ローレンツフレームでのみ有効であり、導出で用いられるゲージ固定座標系では成立しないということである。

ABSTRACT

The detection of gravitational waves based on the geodesic deviation equation is discussed. In particular, it is shown that the only non-vanishing components of the wave field in the conventional traceless-transverse gauge in linearized general relativity do not enter the geodesic deviation equation, and therefore, apparently, no effect is predicted by that equation in that specific gauge. The reason is traced back to the fact that the geodesic deviation equation is written in terms of a coordinate distance, which is not a directly measurable quantity. On the other hand, in the proper Lorentz frame of the detector, the conventional result described in standard textbooks holds.

研究の動機と目的

• 重力波における測地線ずれの標準的教科書結果と、トレースレス・トレランスゲージで加速度が生じないという予測との間にある、表面的矛盾を解消すること。
• 静止している粒子に重力波が影響しないという誤解を解き、座標量と固有量の違いを明確にすること。
• 測地線ずれ方程式が参照フレームに応じて異なる結果を生じること、特にトレースレス・トレランスゲージと検出器の固有ローレンツフレームとの違いを示すこと。
• 標準的結果$\\ddot{\\xi}^{\\alpha} = \frac{1}{2}\\ddot{h}^{\\alpha}_{\\ \\beta}\\xi^{\\beta}$が検出器の静止フレームでのみ有効であり、ゲージ固定座標系では成立しないことを示すこと。

提案手法

• 座標に基づくが共変でないアプローチを用いて、近接する測地線間の相対加速度に注目し、一般測地線ずれ方程式を導出する。
• 2つの異なるフレームに方程式を適用する：(1) $\\Gamma^{i}_{kl} = 0$ となる点で、トレースレス・トレランスゲージ、(2) 測地線に沿って $\\Gamma^{i}_{kl} = 0$ となる検出器の固有ローレンツフレーム。
• 物理的効果を決定するゲージ不変な対象としてリーマン曲率テンソル $R^{i}_{\ lmk}$ を用い、それがゲージ選択に依存しないことを示す。
• トレースレス・トレランスゲージにおける摂動 $h_{ik}$ を分析し、それに伴う加速度 $\\ddot{\xi}^{\alpha}$ を計算。初期静止状態の粒子に対して $\\ddot{\xi}^{\alpha} = 0$ を得る。
• ゲージフレームでは $\\ddot{\xi}^{\alpha} = 0$、検出器フレームでは $\\ddot{\xi}^{\alpha} = \frac{1}{2}\ddot{h}^{\alpha}_{\ \beta}\xi^{\beta}$ となる乖離を、後者がフレーム依存であることを示して解消する。
• 物理的効果は、座標間隔が一定であっても、重力波によって固有距離が変化することにより測定可能であると主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ標準的教科書では、トレースレス・トレランスゲージで初期静止状態の粒子に対して座標加速度が生じないという予測と、それとは対照的に、加速度が生じると述べているのか？
• RQ2 測地線ずれ方程式の物理的意義は、測定されたメトリック摂動がトレースレス・トレランスゲージで表現される場合と、検出器の固有ローレンツフレームで表現される場合とでどのように異なるのか？
• RQ3 同じゲージで $\\ddot{\xi}^{\alpha} = 0$ と $\\ddot{\xi}^{\alpha} = \frac{1}{2}\ddot{h}^{\alpha}_{\ \beta}\xi^{\beta}$ という異なる予測が生じる場合、標準的教科書結果はどのようにして調和させられるのか？
• RQ4 測地線ずれ方程式はトレースレス・トレランスゲージで有効なのか、それとも検出器の静止フレームでのみ有効なのか？
• RQ5 重力波検出において、測定可能な物理的効果（固有距離の変化）と座標的効果（座標間隔の変化）の違いは何か？

主な発見

• トレースレス・トレランスゲージでは、初期静止状態の粒子に対して測地線ずれ方程式が $\\ddot{\xi}^{\alpha} = 0$ を与え、座標加速度が生じないことを示す。
• 標準的教科書結果 $\\ddot{\xi}^{\alpha} = \frac{1}{2}\ddot{h}^{\alpha}_{\ \beta}\xi^{\beta}$ は、検出器の固有ローレンツフレームでのみ有効であり、ゲージ固定座標系では成立しない。
• 物理的効果を支配するリーマン曲率テンソル $R^{i}_{\ lmk}$ はゲージ不変であり、計算に用いるゲージに依存せず同じ結果を与える。
• 座標間隔がトレースレス・トレランスゲージで一定のままでも、重力波の影響で固有距離が変化するため、物理的効果は測定可能である。
• $\\ddot{\xi}^{\alpha} = 0$ と $\\ddot{\xi}^{\alpha} = \frac{1}{2}\ddot{h}^{\alpha}_{\ \beta}\xi^{\beta}$ の表面的矛盾は、フレーム依存性に起因する。前者はゲージフレームに適用され、後者は検出器フレームに適用される。
• 重力波の物理的検出は、座標間隔ではなく固有距離の変化に依存しており、これによりゲージ固定記述における「効果なし」のパラドックスが解消される。