[論文レビュー] Geodesic Obstacle Representation of Graphs

Prosenjit Bose, Paz Carmi+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、グラフの地図的障害物表現を一般化し、従来の障害物表現における直線セグメントの代わりに、任意の多面体的またはグラフ距離空間における最短経路を用いてエッジを表現する、地図的障害物表現を導入する。主な貢献は、障害物表現、平面障害物表現、グリッド障害物表現を統一的に包含するフレームワークを提供することであり、特にハイパーキューブ距離空間などの特定の距離空間において、すべてのグラフが定数個の障害物を用いて交差のない地図的障害物表現を有することを示している。

ABSTRACT

An obstacle representation of a graph is a mapping of the vertices onto points in the plane and a set of connected regions of the plane (called obstacles) such that the straight-line segment connecting the points corresponding to two vertices does not intersect any obstacles if and only if the vertices are adjacent in the graph. The obstacle representation and its plane variant (in which the resulting representation is a plane straight-line embedding of the graph) have been extensively studied with the main objective of minimizing the number of obstacles. Recently, Biedl and Mehrabi [Therese C. Biedl and Saeed Mehrabi, 2017] studied non-blocking grid obstacle representations of graphs in which the vertices of the graph are mapped onto points in the plane while the straight-line segments representing the adjacency between the vertices is replaced by the L_1 (Manhattan) shortest paths in the plane that avoid obstacles. In this paper, we introduce the notion of geodesic obstacle representations of graphs with the main goal of providing a generalized model, which comes naturally when viewing line segments as shortest paths in the Euclidean plane. To this end, we extend the definition of obstacle representation by allowing some obstacles-avoiding shortest path between the corresponding points in the underlying metric space whenever the vertices are adjacent in the graph. We consider both general and plane variants of geodesic obstacle representations (in a similar sense to obstacle representations) under any polyhedral distance function in R^d as well as shortest path distances in graphs. Our results generalize and unify the notions of obstacle representations, plane obstacle representations and grid obstacle representations, leading to a number of questions on such representations.

研究の動機と目的

• 障害物表現、平面障害物表現、グリッド障害物表現の既存モデルを統一的かつ一般化し、一つの包括的フレームワークに統合すること。
• 従来の直線セグメントに基づく障害物表現の概念を、与えられた距離空間における最短経路に置き換えることで、より柔軟で一般化されたグラフ埋め込みを可能にする。
• さまざまなグラフクラス、特に平面グラフに対して、異なる距離距離空間下での交差のない地図的障害物表現の存在を調査すること。
• 特定の距離空間（例えばハイパーキューブ距離）において、交差のない表現に定数個の障害物で十分であるかどうかを同定すること。
• あるグラフの距離構造に基づいて、別のグラフが障害物表現を有するかどうかを決定する問題の計算複雑性を調査すること。

提案手法

• 地図的障害物表現を、頂点がR²内の点に写像され、障害物Sが連結領域であるようなペア(ϕ, S)として定義する。ここで、二つの頂点が隣接するとは、それらの像の間を走るある最短経路（与えられた距離空間で定義）がすべての障害物を避ける場合に限る。
• 任意の多面体距離関数をRdで、およびグラフ内の最短経路距離を用いてモデルを一般化し、基礎となる距離空間における柔軟性を確保する。
• ハイパーキューブQDにおける確率的埋め込み技術を用いる。頂点はD = ⌈log₂n⌉ビットのバイナリ文字列に写像され、経路は辞書式順序とビット単位の比較によって定義される。
• 集中限界と確率的解析を適用し、高確率で以下の4つの幾何的性質が成立することを示す：(1) 中心からの対称的距離、(2) 非隣接エッジ間の分離、(3) 非端点頂点からの距離、(4) 共通頂点から出る経路の急激な分離。
• 埋め込みエッジ経路に使用されていないQDのすべての頂点を障害物集合Sとして構築し、非隣接頂点ペアが障害物を除いた空間で元のグラフより長い経路を持つことを保証する。
• 非隣接頂点u,wについて、δQD\S(u,w) ≥ δG(u,w)(1−ϵ)D/2 − (δG(u,w)−1)2αlogn という主不等式を証明し、障害物除去空間で非エッジが接続されないことを保証することで、表現の正当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の平面グラフは、適切な距離空間下で、ある定数kについて交差のないδk障害物表現を有するか？
• RQ2 ハイパーキューブなどの特定の距離空間において、すべてのグラフに対して定数個の障害物で交差のない地図的障害物表現を構築できるか？
• RQ3 与えられたグラフHに対して、グラフGがH障害物表現を有するかどうかを、地図的モデルのもとで決定することはNP困難か？
• RQ4 L1距離、多面体的距離、グラフ距離などの異なる距離空間における最短経路の性質が、必要な最小障害物数にどのように影響するか？
• RQ5 地図的障害物表現が交差を避け、隣接関係を保つための構造的および確率的条件は何か？

主な発見

• 本稿では、D = ⌈log₂n⌉を用いたハイパーキューブ距離空間QDにおいて、すべてのグラフが定数個の障害物を用いて交差のない地図的障害物表現を有することを確立している。nが増加する極限において、これは定数個の障害物で実現可能である。
• 高確率で、QDにおけるランダム埋め込みが以下の4つの幾何的性質を満たす：対称的中心からの距離、エッジ間の分離、頂点回避、経路の発散。
• 主不等式 δQD\S(u,w) ≥ δG(u,w)(1−ϵ)D/2 − (δG(u,w)−1)2αlogn により、非隣接頂点が障害物除去空間で接続されないことが保証され、表現の正当性が裏付けられる。
• 任意の非エッジuwについて、QD\Sにおける最短経路が(1+ϵ)D/2を超えることが保証され、uwが接続されるという仮定に矛盾するため、正しさが証明される。
• 本手法は、障害物表現、平面障害物表現、グリッド障害物表現を、距離空間内での最短経路に基づく一つのフレームワークに一般化・統合している。
• この結果から、平面グラフが定数kについて交差のないδk障害物表現を有する可能性があるが、これは今後の研究における未解決の問題のままである。