[論文レビュー] Geodesically complete spaces with an upper curvature bound

Alexander Lytchak, Koichi Nagano|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2018

Advanced Topology and Set Theory被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、上界付き曲率を持つ、測地的完全かつ局所コンパクトな距離空間（GCBA空間）の基礎的幾何的・位相的性質を確立する。位相次元とハウスドルフ次元が一致すること、各次元において稠密で開かつ双リプシッツ的正則な部分集合が存在すること、および距離関数がほとんど everywhere で2回微分可能であることを示し、アレクサンドロフ幾何学の主要な結果を上界付き曲率設定へ拡張する。

ABSTRACT

We study geometric and topological properties of locally compact, geodesically complete spaces with an upper curvature bound. We control the size of singular subsets, discuss homotopical and measure-theoretic stratifications and regularity of the metric structure on a large part.

研究の動機と目的

• 測地的完全かつ局所コンパクトな距離空間に上界付き曲率が存在する場合の構造理論を構築し、アレクサンドロフ幾何学の結果を拡張すること。
• 特に下界付き曲率が存在しない場合に生じる正則性や階層構造の欠如を解消すること。
• アレクサンドロフ幾何学およびリーマン幾何学の結果に類似した、ホモトピー的・測度的・解析的階層構造を確立すること。
• 位相次元がハウスドルフ次元と一致し、正則部分が稠密かつ双リプシッツ的ユークリッド空間に同値であることを示すこと。
• 曲率の上界と距離関数の正則性解析を用いて、距離関数がほとんど everywhere で2回微分可能であることを証明すること。

提案手法

• 測地的完全かつ局所コンパクトで可分であり、上界付き曲率を持つ空間のクラスであるGCBA空間を定義し、その局所的・大域的構造を研究する。
• k次元部分 $X^k$ を、接空間の次元がkである点の集合として定義し、$X^k$ に稠密で開かつ双リプシッツ的正則な部分集合 $M^k$ が存在することを証明する。
• 測地的完全性と曲率上界を用いて特異集合のサイズを制御し、$\bar{X}^k \setminus M^k$ のハウスドルフ次元が $k-1$ 以下であることを示す。
• DC関数理論とメトリックチャート構成を用いて距離関数の正則性を解析し、ほとんど everywhere で2階微分可能であることを証明する。
• 比較幾何学と曲率上界を用いて、小さな球内での角度とメトリック歪度を推定し、主要な補題で $o(r)$ および $o(r^2)$ の推定を得る。
• 測地的完全性が小さな摂動に対して安定であることと、ユークリッド空間への双リプシッツ埋め込みの存在を活用して正則性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GCBA空間の位相次元は、そのハウスドルフ次元と一致するか？
• RQ2 各次元において、稠密で開かつ局所的に双リプシッツ的ユークリッド空間 $\mathbb{R}^k$ に同値な正則部分集合を特定できるか？
• RQ3 GCBA空間のk次元部分集合内での特異集合のサイズと構造はいかなるものか？
• RQ4 距離関数はGCBA空間においてほとんど everywhere で2回微分可能であり、その条件は何か？
• RQ5 曲率上界はメトリックチャートの正則性および距離関数の微分可能性にどのように影響するか？

主な発見

• GCBA空間の位相次元は、ハウスドルフ次元と一致し、これは、ユークリッド球に位相的に同相な開部分集合の次元の上限とも一致する。
• 各 $k$ に対して、$k$ 次元部分 $X^k$ には、稠密で開な部分集合 $M^k$ が存在し、$M^k$ は局所的に $\mathbb{R}^k$ に双リプシッツ的同値であり、補集合 $\bar{X}^k \setminus M^k$ のハウスドルフ次元は $k-1$ 以下である。
• $M^k$ は、接空間が $\mathbb{R}^k$ に等長であるすべての点を含むように選べる。また、$M^k \setminus \mathcal{R}_k$ のハウスドルフ次元は $k-2$ 以下である。
• $M^k$ は、すべての凸関数が $\mathrm{DC}$-関数であるような一意な $\mathrm{DC}$-アトラスを備える。
• 距離関数はほとんど everywhere で2回微分可能であり、曲率とメトリック正則性の条件下で、2階テイラー展開が $o(d(x,y)^2)$ の精度で成り立つ。
• 2階微分可能性の証明は、曲率上界により角度推定を $o(\sqrt{r})$ から $o(r)$ に改善し、メトリック展開における $o(r^2)$ 推定を可能にする。