[論文レビュー] Geodesics on an ellipsoid of revolution

Charles F. F. Karney|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2009

Historical Geography and Cartography参考文献 25被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、回転楕円体上の直接的・逆ジオデシック問題を、反復処理を用いずに、ナノメートル未満の精度で解く高精度なアルゴリズムを提示する。補助球とヤコビの楕円関数を用いた新しい定式化により、三角測量、地図投影、海洋境界、多角形領域面積計算への応用が可能となり、収束保証と高い数値安定性を達成する。

ABSTRACT

Algorithms for the computation of the forward and inverse geodesic problems for an ellipsoid of revolution are derived. These are accurate to better than 15 nm when applied to the terrestrial ellipsoids. The solutions of other problems involving geodesics (triangulation, projections, maritime boundaries, and polygonal areas) are investigated.

研究の動機と目的

• 回転楕円体上の直接的・逆ジオデシック問題に対して、数値的に安定で高精度な解法を開発すること。
• バージンシーの手法に見られる限界を克服し、固定順位の扁平率依存性を排除するとともに、ほぼ反対点付近での収束不能問題を解消すること。
• ジオデシック解法を扁平な楕円体から長軸を有する楕円体へ一般化し、三角測量、地図投影、海洋境界、球面多角形の面積計算への応用を拡張すること。
• GeographicLibに利用可能な、包括的な理論的・計算的フレームワークを提供すること。このフレームワークには、短縮長などの高度なジオデシック概念が統合されている。

提案手法

• 補助球法を用いてジオデシックを定式化し、等角写像を介して楕円体問題を解ける球面三角形問題に変換する。
• ヤコビの楕円関数（sn, dn, am）およびその積分（F, E, G）を用いて、ジオデシック弧長、方位角、位置を高精度に表現する。
• 扁平率 $f$、第三扁平率 $n$、または離心率の二乗 $e^2$ を変数とする級数展開を用いて、直接的問題を反復処理なしに解き、15 nm未満の精度を達成する。
• 適切に選んだ初期推定値を用いてニュートン法を適用し、ほぼ反対点付近の点に対しても数回の反復で収束を保証する。
• ジオデシック三角形における主要な不変量である短縮長 $m_{12}$ を導入し、正確な三角測量および面積計算を可能にする。
• ノモニック図法および球面多角形面積の公式を、ジオデシック距離と方位角を用いて楕円体の場合に適応し、精度を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回転楕円体上の直接的・逆ジオデシック問題を、ナノメートル未満の精度と収束保証でどのように解くことができるか？
• RQ2 ジオデシックアルゴリズムを長軸を有する楕円体に拡張するにはどのような修正が必要か？また、扁平楕円体との解法の違いは何か？
• RQ3 ジオデシックに基づく手法を用いて、球面多角形の面積を高精度に計算し、海洋境界を定義するにはどうすればよいか？
• RQ4 楕円積分およびヤコビ関数は、直接的ジオデシック問題に対する反復処理なしの解法を可能にする上で、果たす役割は何か？
• RQ5 短縮長の概念は、三角測量およびジオデシックネットワーク計算の精度と安定性をどのように向上させるか？

主な発見

• 直接的ジオデシック問題は、$f$、$n$、または $e^2$ を変数とする級数展開を用いて反復処理なしに解かれ、扁平楕円体および長軸を有する楕円体の両方で有効であり、15 nm未満の精度を達成する。
• ニュートン法を用いた逆ジオデシック問題は、ほぼ反対点付近の点に対しても数回の反復で信頼性高く収束し、バージンシーのアルゴリズムの主な欠陥を克服する。
• 短縮長 $m_{12}$ はジオデシックネットワークにおける正確な三角測量および面積計算を可能にする基本的不変量である。
• 長軸を有する楕円体では、初期方位角 $\alpha_1$ に対して経度差 $\lambda_{12}$ が単調でなくなるため、ニュートン法における初期点の選択を修正する必要がある。
• ジオデシック多角形の面積は $2\pi n - \sum E_{i-1,i}$ として計算され、$n$ は東方への完全な周回数を表し、高精度な面積積分を保証する。
• 長軸を有するケースでは、ジオデシック面積積分が $G(\phi, \alpha^2, k)$ および複素数楕円関数を用いて再定式化され、$c^2$ は $\tan^{-1}(\sqrt{-e^2})/\sqrt{-e^2}$ を用いて実数表現を維持する。