[論文レビュー] Geometric Combinatorics of Transportation Polytopes and the Behavior of the Simplex Method

Edward D. Kim|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 231被引用数 7

ひとこと要約

本学位論文は、輸送多面体の幾何的組合せ論とHirsch予想との関連を調査し、3方向軸輸送多面体（1-周辺）の直径に対して新しい2次上界を確立するとともに、$p \times 2$ における古典的輸送多面体についてHirsch予想が成り立つことを証明している。一方で、無限に多くのHirsch鋭い例が存在する。また、$n \geq 4$ に対してBirkhoff多面体 $B_n$ に非正則三角形分割が存在することを示し、特定のネットワークフロー多面体の直径に対して線形上界を導出している。

ABSTRACT

This dissertation investigates the geometric combinatorics of convex polytopes and connections to the behavior of the simplex method for linear programming. We focus our attention on transportation polytopes, which are sets of all tables of non-negative real numbers satisfying certain summation conditions. Transportation problems are, in many ways, the simplest kind of linear programs and thus have a rich combinatorial structure. First, we give new results on the diameters of certain classes of transportation polytopes and their relation to the Hirsch Conjecture, which asserts that the diameter of every $d$-dimensional convex polytope with $n$ facets is bounded above by $n-d$. In particular, we prove a new quadratic upper bound on the diameter of $3$-way axial transportation polytopes defined by $1$-marginals. We also show that the Hirsch Conjecture holds for $p imes 2$ classical transportation polytopes, but that there are infinitely-many Hirsch-sharp classical transportation polytopes. Second, we present new results on subpolytopes of transportation polytopes. We investigate, for example, a non-regular triangulation of a subpolytope of the fourth Birkhoff polytope $B_4$. This implies the existence of non-regular triangulations of all Birkhoff polytopes $B_n$ for $n \geq 4$. We also study certain classes of network flow polytopes and prove new linear upper bounds for their diameters.

研究の動機と目的

• 輸送多面体の幾何的組合せ論と線形計画法におけるその役割を調査すること。
• 輸送多面体の文脈においてHirsch予想の妥当性と境界を分析すること。
• Birkhoff多面体の部分多面体における非正則三角形分割の存在と性質を調査すること。
• 特定のクラスの輸送多面体およびネットワークフロー多面体の直径に対して新たな上界を確立すること。
• 多面体的構造の分析を通じてシンプレックス法の挙動の理解を深めること。

提案手法

• 幾何的組合せ論を用いて、古典的および軸輸送多面体の頂点-面構造を分析する。
• 正則および非正則三角形分割を用いて、第4Birkhoff多面体 $B_4$ の部分多面体を研究する。
• 双対グラフおよび双対多面体構成を用いて、ピラミド型構成を通じてHirsch予想を分析する。
• ピラミド型の $d$-ステップ性質を用い、Santosの5次元ピラミド型を活用してHirsch予想の反例を構成する。
• 再帰的多面体構成（定理C.0.4）を用いて、5次元の非-$d$-ステップピラミド型を43次元の非-Hirsch多面体に拡張する。
• transportgenなどの計算ツールを用いて、輸送多面体の生成とその組合せ的性質の分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hirsch予想は $p \times 2$ 古典的輸送多面体に対して成り立つか？
• RQ2 1-周辺で定義される3方向軸輸送多面体の直径は何か？
• RQ3 無限に多くのHirsch鋭い古典的輸送多面体が存在するか？
• RQ4 $n \geq 4$ に対してBirkhoff多面体 $B_n$ に非正則三角形分割が存在するか？
• RQ5 ネットワークフロー多面体の直径に対して線形上界を確立できるか？

主な発見

• $p \times 2$ 古典的輸送多面体すべてに対してHirsch予想が成り立つが、無限に多くのHirsch鋭い例が存在する。
• 1-周辺をもつ3方向軸輸送多面体の直径に対して、新しい2次上界が確立された。
• 第4Birkhoff多面体 $B_4$ に非正則三角形分割が存在し、$n \geq 4$ に対してすべての $B_n$ に対しても同様の分割が存在することが示された。
• 特定のネットワークフロー多面体の直径は、面の数に関して線形関数で上界が与えられる。
• 5次元ピラミド型が $d$-ステップ性質を満たさないことを根拠に、86個の面をもつ43次元多面体を構成し、その直径が43を超えることからHirsch予想が反証された。
• Santosの構成と定理C.0.4の再帰的適用に基づき、得られた非-Hirsch多面体は $10^9$ から $10^{12}$ 個の頂点を持つと予想される。