[論文レビュー] Geometric Complexity Theory VI: the flip via saturated and positive integer programming in representation theory and algebraic geometry

Ketan Mulmuley|ArXiv.org|Apr 2, 2007

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ひとこと要約

本稿は、表現論および代数幾何学における構造定数の飽和性および正性仮説を介して、下界問題を正の整数計画問題に還元することにより、P対NP問題に対する幾何学的複雑性理論のアプローチを提案する。これらの正性および飽和予想が成立するならば（Kazhdan-Lusztig理論および正規基底理論に由来）、ペトリスムおよびリトルウッド＝リチャードソン係数の非消滅性を多項式時間で決定可能であり、特徴零の体におけるP≠NPは、有限体上のリーマン予想と結びつく。

ABSTRACT

This article belongs to a series on geometric complexity theory (GCT), an approach to the P vs. NP and related problems through algebraic geometry and representation theory. The basic principle behind this approach is called the flip. In essence, it reduces the negative hypothesis in complexity theory (the lower bound problems), such as the P vs. NP problem in characteristic zero, to the positive hypothesis in complexity theory (the upper bound problems): specifically, to showing that the problems of deciding nonvanishing of the fundamental structural constants in representation theory and algebraic geometry, such as the well known plethysm constants--or rather certain relaxed forms of these decision probelms--belong to the complexity class P. In this article, we suggest a plan for implementing the flip, i.e., for showing that these relaxed decision problems belong to P. This is based on the reduction of the preceding complexity-theoretic positive hypotheses to mathematical positivity hypotheses: specifically, to showing that there exist positive formulae--i.e. formulae with nonnegative coefficients--for the structural constants under consideration and certain functions associated with them. These turn out be intimately related to the similar positivity properties of the Kazhdan-Lusztig polynomials and the multiplicative structural constants of the canonical (global crystal) bases in the theory of Drinfeld-Jimbo quantum groups. The known proofs of these positivity properties depend on the Riemann hypothesis over finite fields and the related results. Thus the reduction here, in conjunction with the flip, in essence, says that the validity of the P vs. NP conjecture in characteristic zero is intimately linked to the Riemann hypothesis over finite fields and related problems.

研究の動機と目的

• 特徴零におけるP≠NPの証明のための枠組みを確立すること。これは『反転』原理を用いて下界問題を上界問題に還元することを目的とする。
• 表現論におけるペトリスムおよびその他の構造定数の飽和性および正性仮説を定式化し、裏付けること。
• これらの定数の非消滅性を決定する問題が、飽和的かつ正の整数計画問題に還元され、多項式時間で解けることを示すこと。
• P≠NPの正当性が、特に有限体上のリーマン予想を含む深い数論的予想と深く結びつくことを示すこと。
• 必要な正性予想を証明するための非標準的量子群および正規基底に基づくプログラムを提唱すること。

提案手法

• 飽和的かつ正の整数計画問題の一般的枠組みを導入し、多項式時間アルゴリズムが存在することを示すこと。
• 構造定数（例：ペトリスム）のストレッチ関数が準多項式的であることを証明し、リトルウッド＝リチャードソン係数の既知の結果を一般化すること。
• ペトリスムおよび部分群制限問題に対する正性および飽和予想を定式化し、リトルウッド＝リチャードソン係数の既知の性質を拡張すること。
• Kazhdan-Lusztig多項式およびDrinfeld-Jimbo量子群の正規基底からの既知の正性結果を活用し、予想の動機を提供すること。
• 正規基底と同様の正性性質を有する、非標準的量子群および関連代数を構成すること。
• 分離オракルおよび錐（例：リトルウッド＝リチャードソン錐）の構造定理を用いて、指数的多数の制約がある中でも効率的なアルゴリズムを可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正性および飽和性の仮定のもとで、ペトリスム定数の非消滅性は多項式時間で決定可能か？
• RQ2 ペトリスム定数のストレッチ関数は、リトルウッド＝リチャードソン係数の既知の多項式性を一般化した準多項式的関数か？
• RQ3 特徴零におけるP≠NPの正当性は、表現論における正性予想の真偽に還元可能か？
• RQ4 正規基底およびKazhdan-Lusztig多項式の正性性質が、複雑性理論的決定可能性に必要な構造的性質をどの程度示唆するか？
• RQ5 非標準的量子群およびその正規基底は、必要な正性仮説を証明するための構成的道筋を提供できるか？

主な発見

• ペトリスム定数のストレッチ関数は準多項式的であり、Kirillovの予想がこの場合に成立することが証明された。
• 構造定数の非消滅性を決定する問題は、飽和的かつ正の整数計画問題に還元され、提案された仮定のもとで多項式時間で解ける。
• 特徴零におけるP≠NP予想の正当性は、構造定数の正性を通じて、有限体上のリーマン予想と深く結びついている。
• ペトリスムおよび部分群制限問題を支配する飽和性および正性仮説について、理論的および実験的根拠が提供された。
• 非標準的量子群および関連代数の新しい枠組みが提唱され、将来の数学的予想の証明への道筋を示す、予想される正性性質を有する。
• 同じ正性および飽和仮定のもとで、リトルウッド＝リチャードソン非消滅性の既知の多項式時間解法が、より広いクラスの構造定数へ一般化された。