[論文レビュー] Geometric conditions for multiple sampling and interpolation in the Fock space

Alexander Borichev, Andreas Hartmann+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、重複度が無限大に達する場合のフォック空間における多重サンプリングおよび補間のための幾何的条件を確立する。重複度が無限大に近づくとき、いかなる列に対しても、同時にサンプリングかつ補間可能であることは不可能であることを証明し、ブレッケとセイプが提起した、無限大の重複度領域におけるそのような列の非存在に関する部分的問題を解決する。

ABSTRACT

We study multiple sampling, interpolation and uniqueness for the classical Fock spaces in the case of unbounded multiplicities. We show that there are no sequences which are simultaneously sampling and interpolating when the multiplicities tend to infinity.

研究の動機と目的

• 重複度が無限大である場合のフォック空間における多重サンプリングおよび補間列を特徴づけること。
• ブレッケとセイプが提起した、重複度が無限大である状況下で同時にサンプリングおよび補間可能な列の存在に関する問題に取り組むこと。
• ヒルバート空間および一様ノルム設定の両方において、多重サンプリングおよび補間の必要十分条件である幾何的密度および重なり条件を確立すること。
• 重複度が無限大に近づくとき、いかなる列に対しても同時にサンプリングおよび補間可能でないことを示し、有界重複度の場合に既知であった結果を拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、各点 λ ∈ Λ に重複度 mλ が関連付けられた除法子を用いて、多重サンプリングおよび補間を定義する。
• 商ノルム ‖f‖Fα²/Nλ² を導入し、それらを用いて、全ノルムと漸近的に同値である条件としてサンプリングおよび補間の条件を定義する。
• 解析は、平行移動作用素 Tλ および正規化された再生核 Tλ1 = k̃λ に依存する。
• 主な技術には、一般化されたカールソン条件の使用と、disc D(λ, √mλ − δ − 1) の重なりの研究が含まれ、それらから必要な幾何的条件を導出する。
• Lp 系（p > 2）の場合、∂̄-問題とヤングの不等式を用いて、解の Lp/2 ノルムを制御し、一様な境界を保証する。
• 彼らは、補間子の大きさを制御し、背理法および弱収束の議論を用いて、必要十分条件を導出するために、補題 8.3（補題 5.1 の変種）を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重複度 mλ が無限大に近づく場合、フォック空間において列が同時にサンプリングおよび補間可能であることは可能か？
• RQ2 フォック空間における多重サンプリングおよび補間のための、列 Λ および重複度 mλ に対する必要十分な幾何的条件は何か？
• RQ3 重複度が無限大であるとき、商ノルム ‖Tλ1‖Fαp/Nλp はどのように振る舞い、サンプリングおよび補間にどのような含意を持つのか？
• RQ4 重複度が無限大である補間列に対して、有限重なり条件 supz ∑λ χD(λ,√mλ−δ−1)(z) < ∞ が成り立つか？
• RQ5 p = 2 の場合に用いられた手法を p > 2 に拡張することで、同時にサンプリングおよび補間可能な列の非存在を示せるか？

主な発見

• 重複度 mλ が無限大に近づくとき、ヒルバート空間の場合でさえ、いかなる列に対しても同時にサンプリングおよび補間可能でない。
• 多重補間のための必要十分な幾何的条件として、disc D(λ, √mλ − δ − 1) の重なりが一様に有界であること、すなわち supz ∑λ χD(λ,√mλ−δ−1)(z) < ∞ が成り立つこと。
• Lp 系（p > 2）において、Tzn1 の商ノルムの p 乗和は部分列に沿って 0 に弱収束する。
• ∂̄-問題とヤングの不等式を用いて、解が Lp/2 に留まることを示し、ノルム推定値に対する一様な制御を保証する。
• 有限重なり条件は必要であり、その不成立は商ノルムの増大を介して背理に導く。
• この結果は、ヒルバート空間の場合（p=2）および一様ノルムの場合（p=∞）の両方において成り立つ。重複度が無限大である状況下でも、非存在性の強固な結果が得られる。