[論文レビュー] Geometric Considerations of a Good Dictionary for Koopman Analysis of Dynamical Systems

Erik M. Bollt|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 18被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、特徴関数を余次元1の横断的集合上の初期データによって定義することにより、Koopman作用素解析における最適辞書の構築のための幾何的枠組みを提案する。特性法を用い、スペクトルの重複度を解消するために「主特徴関数」を、一致する等高線集合を用いた同値類として導入する。このアプローチにより、特徴関数間の幾何的関係が明らかになり、点スペクトルと連続スペクトル、および特徴関数の定義域との関係が明確化される。

ABSTRACT

Representation of a dynamical system in terms of simplifying modes is a central premise of reduced order modelling and a primary concern of the increasingly popular DMD (dynamic mode decomposition) empirical interpretation of Koopman operator analysis of complex systems. In the spirit of optimal approximation and reduced order modelling the goal of DMD methods and variants are to describe the dynamical evolution as a linear evolution in an appropriately transformed lower rank space, as best as possible. However, as far as we know there has not been an in depth study regarding the underlying geometry as related to an efficient representation. To this end we present that a good dictionary, that quite different from other's constructions, we need only to construct optimal initial data functions on a transverse co-dimension one set. Then the eigenfunctions on a subdomain follows the method of characteristics. The underlying geometry of Koopman eigenfunctions involves an extreme multiplicity whereby infinitely many eigenfunctions correspond to each eigenvalue that we resolved by our new concept as a quotient set of functions, in terms of matched level sets. We call this equivalence class of functions a ``primary eigenfunction to further help us to resolve the relationship between the large number of eigenfunctions in perhaps an otherwise low dimensional phase space. This construction allows us to understand the geometric relationships between the numerous eigenfunctions in a useful way. Aspects are discussed how the underlying spectral decomposition as the point spectrum and continuous spectrum fundamentally relate to the domain of the eigenfunctions functions.

研究の動機と目的

• Koopman作用素解析における辞書構築に関する幾何的理解の不足を解消すること。
• 低次元モデル化における固有関数の固有値ごとの無限重複度の問題を解消すること。
• 余次元1の多様体上の初期データから特徴関数を体系的に構築する手法を開発すること。
• 特徴関数とスペクトル分解（点スペクトルおよび連続スペクトルを含む）の幾何的関係を明確化すること。
• 一致する等高線集合を有する関数の同値類としての「主特徴関数」の概念を導入し、複雑な特徴関数構造の表現を簡略化すること。

提案手法

• 位相空間内の横断的余次元1部分集合に初期データ関数を構築し、それらから特徴関数を生成する。
• 特性法を適用して、これらの初期関数を全定義域へと発展させ、部分領域における特徴関数を得る。
• 一致する等高線集合に基づく同値類として特徴関数を定義し、固有値ごとの無限重複度を解消するための「主特徴関数」を形成する。
• 共通の等高線集合を持つ関数の同値関係に基づく商集合を用い、主特徴関数構造を表現する。
• 特徴関数の定義域がKoopman作用素の点スペクトルおよび連続スペクトルとどのように関係するかを分析する。
• この商に基づく枠組みを通じて、スペクトル分解と特徴関数の空間的サポートとの幾何的関連を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Koopman作用素解析のための幾何的インスパイラションを備えた辞書を、どのようにして構築できるか？
• RQ2 横断的余次元1多様体は、特徴関数構築の初期データ定義において果たす役割は何か？
• RQ3 幾何的枠組みにおいて、固有値ごとの特徴関数の無限重複度を体系的にどのように解消できるか？
• RQ4 特徴関数の定義域とKoopman作用素の点スペクトル／連続スペクトルとの関係は何か？
• RQ5 等高線集合の一致と関数の商集合は、どのようにして特徴関数族の最小表現をもたらすか？

主な発見

• 特性法により、横断的余次元1集合上の初期データから特徴関数を構築でき、幾何的に整合性のある辞書が得られる。
• 一致する等高線集合による同値類の導入により、固有値ごとの特徴関数の無限重複度が解消され、「主特徴関数」という概念が形成される。
• 主特徴関数枠組みにより、低次元位相空間における特徴関数族の最小で幾何的に意味のある表現が可能になる。
• 特徴関数の定義域は、スペクトル分解と本質的に関連しており、点スペクトルと連続スペクトルはそれぞれ異なる幾何的・関数的性質に対応する。
• 商集合構成により、特徴関数を厳密に分類しつつ、その力学的および幾何的関係を保持する方法が得られる。
• このアプローチにより、低次元系でさえも、等高線の幾何的構造が特徴関数間の関数的関係を支配することを明らかにする。