[論文レビュー] Geometric construction of quotients $G/H$ in supersymmetry

Akira Masuoka, Yuta Takahashi|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特徴値が 2 でない体上のアフィン代数的スーパ[group] $
mathbb{G}$ 及び閉じた部分スーパ[group] $
mathbb{H}$ に対して、商スーパースキーム $
mathbb{G}/
mathbb{H}$ の直接的な幾何的構成を提供する。この構成では、$
mathbb{G}/
mathbb{H}$ の構造層を明示的に記述し、すべての望ましい幾何的および関手的性質（局所的分解可能性、関連する商スキーム $G/H$ との整合性を含む）を満たすことを証明する。この構成により、長年の空白が解消され、Brundan が望んでいた性質が、初めて一般に実現された。

ABSTRACT

It was proved by the first-named author and Zubkov [13] that given an affine algebraic supergroup $\mathbb{G}$ and a closed sub-supergroup $\mathbb{H}$ over an arbitrary field of characteristic $ e 2$, the faisceau $\mathbb{G} ilde{/} \mathbb{H}$ (in the fppf topology) is a superscheme, and is, therefore, the quotient superscheme $\mathbb{G}/\mathbb{H}$, which has desirable properties, in fact. We reprove this, by constructing directly the latter superscheme $\mathbb{G}/\mathbb{H}$. Our proof describes explicitly the structure sheaf of $\mathbb{G}/\mathbb{H}$, and reveals some new geometric features of the quotient, that include one which was desired by Brundan [2], and is shown in general, here for the first time.

研究の動機と目的

• アフィン代数的スーパ[group] $
  mathbb{G}$ 及び閉じた部分スーパ[group] $
  mathbb{H}$ に対して、[13] の間接的アプローチを回避する、商スーパースキーム $\mathbb{G}/\mathbb{H}$ の直接的幾何的構成を提供すること。
• 構造層 $\mathcal{O}_{\mathbb{G}/\mathbb{H}}$ を明示的に記述し、局所的分解可能性を含む新しい幾何的特徴を明らかにすること。
• Brundan が提示した六つの性質 (Q1)–(Q6) が、特に (Q5) の局所的分解可能性について、一般に成り立つことを証明すること。
• Brundan が $Q(n)$ の表現論を通じて $
  mathbb{G}/
  mathbb{H}$ を用いて得た一般的結果が、より広いクラスのアフィン代数的スーパ[group]に適用可能であることを確立すること。

提案手法

• 著者たちは、ホップスーパ-algebra $\mathcal{O}(\mathbb{H})$ による $\mathcal{O}(\mathbb{G})$ への標準的コアクションを用いて、構造層を明示的に記述することで、商スーパースキーム $\mathbb{G}/\mathbb{H}$ を直接構成する。
• 彼らは $\mathcal{O}(\mathbb{G})$ に作用する標準的 $\mathbb{D}$-コアクションを用い、コインヴァリアント $\mathcal{O}(\mathbb{G})^{co\mathbb{D}}$ を計算する。このコインヴァリアントは、同型 $\mathcal{O}_{\mathbb{G}/\mathbb{H}}(U) \simeq \mathcal{O}_{\mathbb{G}}(\pi^{-1}(U))^{co\mathbb{D}}$ を通じて、構造層 $\mathcal{O}_{\mathbb{G}/\mathbb{H}}$ と同一視される。
• この構成は、比較定理を介したスーパースキームと関手的スーパースキームの同値性に依存しており、fppf シェーヴー論的技法の使用を可能にする。
• 主な技術的道具は、ホップスーパ-algebra $D = \mathcal{O}(\mathbb{H})$ を基にしたスウィードラー記法および $\square_D$-テンソル積であり、これは相対的コインヴァリアントをモデル化する。
• 著者たちは、$\mathcal{O}_{\mathbb{G}/\mathbb{H}} \simeq \wedge_B(A \square_D \mathsf{Z})$ を証明する。ここで $\mathsf{Z}$ は自由 $B$-加群である。この結果により、商が局所的に分解可能なスーパースキームとしての構造が確立される。
• 彼らは、商 $\mathbb{G}/\mathbb{H}$ がネーター的であり、アフィン的で、$\mathbb{G}$ に対して忠実に平坦であり、その基底スキームが $G/H$ と同型であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商スーパースキーム $\mathbb{G}/\mathbb{H}$ の直接的な幾何的構成が存在するか。特に、その構造層が明示的に記述可能か。
• RQ2 Brundan の予想に従い、一般に商 $\mathbb{G}/\mathbb{H}$ は局所的に分解可能か。
• RQ3 Brundan が提示した六つの望ましい性質 (Q1)–(Q6) が、一般に成り立つか。
• RQ4 構造層 $\mathcal{O}_{\mathbb{G}/\mathbb{H}}$ は、$\mathcal{O}(\mathbb{H})$ の $\mathcal{O}(\mathbb{G})$ へのコアクションのコインヴァリアントと自然に同型か。
• RQ5 商 $\mathbb{G}/\mathbb{H}$ は fppf シェーヴー $\mathbb{G}\tilde{/}\mathbb{H}$ を代表するか。これにより、普遍的性質が確認されるか。

主な発見

• 商スーパースキーム $\mathbb{G}/\mathbb{H}$ は、構造層 $\mathcal{O}_{\mathbb{G}/\mathbb{H}}(U) \simeq \mathcal{O}_{\mathbb{G}}(\pi^{-1}(U))^{co\mathbb{D}}$ を持つスーパースキームとして明示的に構成され、幾何的実現が確認された。
• 商 $\mathbb{G}/\mathbb{H}$ は局所的に分解可能であり、任意の点の近傍で分解可能である。これは、Brundan の研究における主要な未解決問題を解決する。
• 商 $\mathbb{G}/\mathbb{H}$ は、Brundan が提示した六つの性質 (Q1)–(Q6) 全てを満たす。特に、商の射影の忠実な平坦性およびネーター性が保証される。
• 構造層 $\mathcal{O}_{\mathbb{G}/\mathbb{H}}$ は、$\wedge_B(A \square_D \mathsf{Z})$ と同型である。ここで $A = \mathcal{O}(\mathbb{G})$、$D = \mathcal{O}(\mathbb{H})$、$\mathsf{Z}$ は自由 $B$-加群である。これにより、明示的な代数的記述が得られる。
• 商 $\mathbb{G}/\mathbb{H}$ は fppf シェーヴー $\mathbb{G}\tilde{/}\mathbb{H}$ を代表する。これにより、カテゴリカルな商としての普遍的性質が確認された。
• この結果により、Brundan の $Q(n)$ に関する表現論的結果が、$G/H$ が射影的である限り、より広いクラスのアフィン代数的スーパ[group]に一般化可能である。