[論文レビュー] Geometric crystals and set-theoretical solutions to the quantum Yang-Baxter equation

Pavel Etingof|ArXiv.org|Dec 26, 2001

advanced mathematical theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、幾何的結晶から導かれる有理的集合論的R行列が非退化であり、量子ヤン・バクスター方程式および自己同型条件を満たすことを確立する。[1]の定理8.9に対する直接的証明を提供し、$\mathrm{PGL}_n(\mathbb{C}(\lambda))$の部分群としての削減構造群を計算し、これらの解が集合ではなく、有理写像を伴う既約代数的多様体の圏に属することを示す。これにより、[4]の理論を有理的設定に一般化する必要が生じる。

ABSTRACT

The notion of a geometric crystal was introduced by A.Berenstein and D.Kazhdan, motivated by the needs of representation theory of p-adic groups. It was shown by A.Braverman, A.Berenstein, and D.Kazhdan that some particular geometric crystals give rise to an interesting birational automorphism R of the Cartesian square of an n-dimensional torus, which satisfies the quantum Yang-Baxter equation and the unitarity condition. On the other hand, unitary set-theoretical solutions of the quantum Yang-Baxter equation were studied by Schedler, Soloviev, and the author. It was shown that the theory is especially nice if the solution satisfies an additional nondegeneracy condition. In particular, in this situation one can define the so called reduced structure group, whose complexity characterizes the complexity of the solution. In this note we show that the map R is nondegenerate, and give a new proof that it satisfies the quantum Yang-Baxter equation and the unitarity condition. Then we calculate the reduced structure group of R, and show that it is a subgroup of the "loop group" PGL(n,C(t))$. We also give a new, direct proof of a Theorem of Braverman and Kazhdan on the commutativity of two symmetric group actions on the space of matrices.

研究の動機と目的

• 幾何的結晶から導かれるR行列が非退化であり、量子ヤン・バクスター方程式および自己同型条件を満たすことを証明すること。
• 従来幾何的結晶理論に依存していた[1]の定理8.9に対する直接的証明を提供すること。
• 幾何的結晶から生じる有理的集合論的R行列$(X,R)$の削減構造群$G_R^0$を計算すること。
• このような解が集合論的ではなく、有理写像を伴う既約代数的多様体の圏に属することを示し、[4]の理論を有理的設定に一般化する必要があること。
• Rによって定義される$S_N$作用が、有理写像による変換で標準的置換作用と共役であることを確立すること。

提案手法

• 有理的集合論的R行列を、$R: X \times X \to X \times X$ が有理的同型写像であり、$R(x,y) = (f_y(x), g_x(y))$ と表されるものとして定義する。ここで$f_z, g_z$は有理写像である。
• 非退化性条件を導入し、すべての一般的$z \in X$に対して$f_z, g_z$が有理的同型写像であることを要請する。
• 関係式$xy = y'x'$が$R(x,y) = (x',y')$のとき成り立つように構造群$G_R$を定義し、$\mathrm{Bir}(X)$への像として削減構造群$G_R^0$を定義する。
• $(\mathbb{C}^*)^n$ 上の幾何的結晶構成を用い、$\Delta_k(\mathbf{x},\mathbf{y})$ および $\eta(\mathbf{x},\mathbf{y})$ を含む対称的有理関数によって$R$を定義する。
• 変数$X_i, Y_i, P_j, Q_j$および補助関数$G_k, H_l$を用いた対称的表現による直接計算により、自己同型性および量子ヤン・バクスター方程式を証明する。
• 変数の再ラベル化$(P,Q,l,j,n,c,d,H) \to (X,Y,k,i,m,a,b,G)$の下で、変換された変数が対称的表現を満たすことを示し、$\tau\sigma$の合成における対称性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的結晶から構成された有理的集合論的R行列は非退化か？
• RQ2 これらのR行列は量子ヤン・バクスター方程式および自己同型条件を満たすか？
• RQ3 このようなR行列の削減構造群$G_R^0$の構造は何か？
• RQ4 Rによって定義される$S_N$作用は、標準的置換作用とどのように関係するか？
• RQ5 [4]の非退化集合論的解の理論を、幾何的結晶解を含む有理的設定に一般化できるか？

主な発見

• 幾何的結晶から構成されたR行列は非退化である。なぜなら、すべての一般的$z$に対して$f_z$および$g_z$が有理的同型写像だからである。
• R行列は量子ヤン・バクスター方程式および自己同型条件$R^{21}R = 1$を満たす。
• 削減構造群$G_R^0$は$\mathrm{PGL}_n(\mathbb{C}(\lambda))$の部分群である。
• Rによって定義される$\mathcal{T}^N$上の$S_N$作用は、有理写像$J_N$による変換で標準的置換作用と共役である。
• 解$(X,R)$は標準的非退化集合論的解として見なせない。これは、有理写像を伴う既約代数的多様体の圏に属する。
• 再ラベル化による$\tau\sigma$合成の対称性の確認は、R行列の整合性を裏付け、[1]の定理8.9の直接的証明の妥当性を検証する。