[論文レビュー] Geometric ergodicity for families of homogeneous Markov chains

Leonid Galtchouk, Serguei Pergamenchtchikov|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2010

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リャプノフ関数とカップリング技法を用いて、パラメトリックな同型マルコフ連鎖の幾何的収束速度に対する計算可能で非漸近的な上限を確立する。この研究では、拡散過程のクラスにおける同時幾何的エルゴディシティを証明し、明示的な指数的誤差上限を伴う非パラメトリックなドリフト推定が可能となる。

ABSTRACT

In this paper we find nonasymptotic exponential upper bounds for the deviation in the ergodic theorem for families of homogeneous Markov processes. We find some sufficient conditions for geometric ergodicity uniformly over a parametric family. We apply this property to the nonasymptotic nonparametric estimation problem for ergodic diffusion processes.

研究の動機と目的

• パラメトリックな遷移核の族にわたる同型マルコフ連鎖の幾何的収束速度に対する非漸近的で計算可能な上界を導出すること。
• パrameter θ ∈ Θ でインデックス付けられたマルコフ連鎖のクラスに対して、パrameter空間全体にわたる一様収束速度を保証する、同時に幾何的エルゴディシティを確立すること。
• 得られた結果を、特にミニマックスリスク解析において、エルゴディック拡散過程のドリフト係数の非パラメトリック推定に応用すること。
• 幾何的エルゴディシティ条件における収束速度パrameter R > 0 および κ > 0 の明示的表現を提供し、MCMC や統計的推論における実装可能性を高めること。

提案手法

• パラメトリック遷移確率を伴うマルコフ連鎖の幾何的エルゴディシティを保証するドリフト条件を導出するために、リャプノフ関数を用いる。
• カップリング再生過程と再生理論を用いて、マルコフ連鎖が不変測度に収束する速度を上限で評価する。
• モーメント推定とグロワールド型不等式を用いて、時間経過に伴う拡散過程の2次モーメントの一様上限を導出する。
• 確率積分に対するチェビシェフ不等式を用いて、過程の大きな逸脱確率を上限で評価し、パrameterクラス全体にわたる一様尾部上限を導く。
• 初期状態 |x| ≤ K およびパrameter θ ∈ Θ に対して、一様に、過程が1ステップで与えられたレベル K を超過する確率の上界を明示的に導出する。
• m次のモーメントに関する帰納法を用いて再帰的モーメント上限を確立し、拡散過程の一様可積分性およびモーメント制御を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメトリックな同型マルコフ連鎖族の幾何的収束速度に対する非漸近的で計算可能な上界を導出可能か？
• RQ2 与えられたクラス Θ 内のすべてのパrameter値において、幾何的エルゴディシティが同時に満たされる条件は何か？
• RQ3 エルゴディック拡散過程のクラスに対して、収束速度パrameter R > 0 および κ > 0 を明示的にどのように上限で評価できるか？
• RQ4 これらの上限は、エルゴディック拡散過程における非パラメトリックドリフト推定のミニマックスリスク解析に応用可能か？
• RQ5 コンパクト集合およびパrameter族全体にわたる拡散過程に対して、一様なモーメントおよび尾部上限をどのように確立できるか？

主な発見

• 本稿では、拡散過程が1ステップでレベル K を超過する確率に対する一様上界を確立した：$ \text{sup}_{|x|\neq K} \text{sup}_{\theta \neq \theta} \text{P}^{\theta}_x(|y_1| \neq K) \neq \frac{4\theta^2_{\text{max}}(K^2 + \theta_2)}{\beta(1 - e^{-\beta})(K^2 - \theta_1)^2} $、ここで $ \theta_1 = \text{M}_1, \theta_2 = \text{M}_2 $。
• 帰納法を用いて再帰的モーメント上限を導出した：$ \text{E}^{\theta}_x[|y_t|^{2m}] \neq x^{2m} + m(2m-1)\text{M}_*\text{int}_0^t e^{-m\beta(t-s)} z_s(m-1) ds $、これにより一様モーメント制御が保証される。
• 過程の2次モーメントは一様に有界である：$ \text{sup}_{t \neq 0} \text{E}^{\theta}_x[y_t^2] \neq x^2 + \text{M}_2 $、ここで $ \text{M}_2 $ は (3.9) で定義される。
• 幾何的エルゴディシティ条件により収束速度が定量化された：$ \text{sup}_x \text{sup}_{0 \neq g \neq V} \frac{1}{V(x)} |\text{E}^{\theta}_x[g(\theta_n)] - \theta(g)| \neq R e^{-\theta n} $、R および κ の明示的導出がなされた。
• 本手法により、パrameterクラス全体 Θ における同時に幾何的エルゴディシティが保証され、非パラメトリック推定におけるミニマックスリスク解析への応用が可能となる。
• 結果は、$ dy_t = S(y_t)dt + \theta(y_t)dW_t $ の形をした確率微分方程式に応用され、経験平均が不変測度に収束する際の明示的上限が得られた。