[論文レビュー] Geometric Flows and Black Holes

Fu-Wen Shu, You-Gen Shen|ArXiv.org|Oct 8, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、球対称な真空中時空内における幾何学的フロー——特にアインシュタイン方程式、リッチフロー、双曲的幾何的フロー——を調査する。時間および半径に依存しない係数の下で、3つのフローはすべてバーキホフの定理を満たし、宇宙定数 Λ = 0 のときシュバルツシルト解を含む同一のブラックホール解をもたらすことを示している。

ABSTRACT

Motivated by the newest progress in geometric flows both in mathematics and physics, we apply the geometric evolution equation to study some black-hole problems. Our results show that, under certain conditions, the geometric evolution equations satisfy the Birkhoff theorem, and surprisingly, in the case of spherically symmetric metric field, the Einstein equation, the Ricci flow, and the hyperbolic geometric flow in vacuum spacetime have the same black-hole solutions, especially in the case of $Λ=0$, they all have the Schwarzschild solution. In addition, these results can be generalized to a kind of more general geometric flow.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論を超える幾何学的発展方程式へのバーキホフの定理の拡張を目的とする。
• 真空中時空におけるリッチフローおよび双曲的幾何的フローに対して、バーキホフの定理が成り立つかを調査すること。
• 球対称な幾何学的フローが静的かつ漸近的に平坦なブラックホール解を生成するかを特定すること。
• 定数係数を有するより広いクラスの幾何学的フローへと結果を一般化すること。
• 真空中における異なる幾何学的フロー下での計量の進化が示す物理的意味を探索すること。

提案手法

• アインシュタイン方程式、リッチフロー、双曲的幾何的フローを統一する一般幾何学的発展方程式 (1) を定式化し、係数 αμν, βμν, γμν を用いる。
• 時間および半径に依存する関数 A(r,t), B(r,t) を有する球対称計量のアンザッツを適用する。
• バーキホフの定理と整合性を保つために、係数 αμν, βμν, γμν が時間 t および半径 r に依存しないことを仮定する。
• 球対称計量のリッチテンソル成分を導出し、一般発展方程式に代入する。
• Rrt 成分を用いて、A(r,t) が時間に依存しないことを示し、問題を静的計量に還元する。
• 得られた常微分方程式を解き、Λ = 0 のときシュバルツシルト解を含む正確な解を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン方程式以外の幾何学的フローに対してもバーキホフの定理は成り立つか？
• RQ2 真空中時空におけるリッチフローおよび双曲的幾何的フローは、アインシュタイン方程式と同一のブラックホール解を生成するか？
• RQ3 球対称条件下における幾何学的発展方程式の正確な解は何か？
• RQ4 宇宙定数 Λ は、これらのフローにおけるブラックホール解の構造にどのように影響するか？
• RQ5 定数係数を有するより広いクラスの幾何学的フローへとバーキホフの定理を一般化できるか？

主な発見

• αμν, βμν, γμν が時間 t および半径 r に依存しない条件のもと、一般幾何学的発展方程式 (1) はバーキホフの定理を満たし、球対称な真空中解が静的かつ漸近的に平坦であることを示唆する。
• Λ = 0 のとき、アインシュタイン方程式、リッチフロー、双曲的幾何的フローはすべて真空中でシュバルツシルト解を生成する。
• Λ ≠ 0 のとき、解はシュバルツシルト＝デ de Sitter 度計に類似した形に一般化され、1/Λ ≥ 9/4 r_g² のとき2つのイベントホライズンを有するか、1/Λ < 9/4 r_g² のとき1つのホライズンを有する。
• 計量の正確な解は ds² = u(r)(1 - 2m/r - Λr²/3)c²dt² - (1 - 2m/r - Λr²/3)⁻¹dr² + r²dΩ² であり、u(r) = (r - r_a)^σ_a (r - r_b)^σ_b (r - r_c)^σ_c である。
• ブラックホールの表面重力は σ_i = Λ r_i / κ_i で与えられ、ここで κ_i は 1/a の微分をホライズン r_i で評価した値である。
• 結果から、このような幾何学的フロー下で進化する任意の球対称真空中計量は静的のままであり、純粋な重力波を放出せずにブラックホールを形成することが示唆される。