[論文レビュー] Geometric flows and Strominger systems

D. H. Phong, Sébastien Picard+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、3次元複素多様体上のHermitian計量のバランス条件を保つ(2,2)-形式上の幾何的フロー、Anomaly flowを導入する。このフローの定常解はStrominger系を解く。HamiltonのNash-Moserの陰関数定理を用いて、小さなストリング張力パラメータ$\alpha^\prime$に対して短時間解の存在を確立し、非Kähler的Calabi-YauおよびHermitian-Einstein方程式を解くための新しい放物型アプローチを提供する。

ABSTRACT

A geometric flow on $(2,2)$-forms is introduced which preserves the balanced condition of metrics, and whose stationary points satisfy the anomaly equation in Strominger systems. The existence of solutions for a short time is established, using Hamilton's version of the Nash-Moser implicit function theorem.

研究の動機と目的

• 3次元複素多様体に滑らかな3形式を備えたHermitian計量のバランス条件を保つ幾何的フローの構築。
• ホテラティック弦理論のコンpactificationにおける重要な方程式であるStrominger系を解く放物型アプローチの提供。
• 特にNash-Moserの陰関数定理を用いた高度な解析的手法により、短時間解の存在を確立すること。
• 非Kähler幾何におけるFu-Yau方程式および関連する異常方程式の既存の解を統一的かつ一般化する枠組みの構築。

提案手法

• Anomaly flowは、$\partial_t(\|\Omega\|_\omega \omega^2) = i\partial\bar{\partial}\omega - \frac{\alpha^\prime}{4}(\mathrm{Tr}(R\wedge R) - \mathrm{Tr}(F\wedge F))$を介して(2,2)-形式のフローとして定義され、バランス条件を保存する。
• フローはその曲率を介してHermitian計量のフローとして再定式化され、幾何的PDE技法による解析が可能になる。
• 短時間解の存在は、Hamiltonが発展させたNash-Moserの陰関数定理を用いて証明される。
• アンサッツのもとで、フローは共形因子$u$に関するスカラー放物型PDEに等価であり、系を単一の時間発展方程式に還元できる。
• フローの強凸性は、$e^u\omega_S + \alpha^\prime e^{-u}\rho + \alpha^\prime i\partial\bar{\partial}u > 0$という条件によって特徴づけられ、放物型性を保証する。
• フローはGoldstein-Prokushkinファイブレーションに適用され、後続の研究で$\alpha^\prime > 0$および$\alpha^\prime < 0$の両方において収束が確立された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バランス条件を保ち、その定常解がStrominger系を解く幾何的フローを構築することは可能か？
• RQ2 ストリング張力パラメータ$\alpha^\prime$が小さい場合にAnomalyフローは短時間解を有するか？
• RQ3 曲率の進化を介してHermitian計量のフローとして再定式化可能か？これにより標準的なPDE解析が可能になるか？
• RQ4 Anomalyフローの放物型性を保証する強凸性条件は何か？
• RQ5 このフローは、既知のFu-Yau方程式および関連する異常方程式の解を統一する枠組みを提供するか？

主な発見

• 初期計量がバランス条件を満たしていれば、Anomalyフローはすべての時刻$t$においてバランス条件$d(\|\Omega\|_\omega \omega^2) = 0$を保存する。
• Nash-Moserの陰関数定理を用いて、小さな$\alpha^\prime$に対して滑らかな短時間解の存在が確立された。
• フローは共形因子$u$に関するスカラー放物型PDEに等価であり、$\partial_t u = \frac{e^{-u}}{2}\left(\Delta e^u + \alpha^\prime \sigma_2(i\partial\bar{\partial}u) - 2\alpha^\prime \frac{i\partial\bar{\partial}(e^{-u}\rho)}{\omega_S^2} + \tilde{\mu}\right)$として与えられる。
• フローの強凸性は、$e^u\omega_S + \alpha^\prime e^{-u}\rho + \alpha^\prime i\partial\bar{\partial}u > 0$という条件に等価であり、これは$|\alpha^\prime Rm|_{\omega_u} \ll 1$によって示唆される。
• $|\alpha^\prime Rm|_{\omega_u} \ll 1$という条件は、短時間解の存在を示し、Nash-Moser法の適用可能性を定量的に示す基準を提供する。
• 後続の研究で、Goldstein-Prokushkinファイブレーションにおいて$\alpha^\prime > 0$および$\alpha^\prime < 0$の両方でAnomalyフローの収束が確認され、既存の結果が統一された。