[論文レビュー] Geometric Formulation of Nonlinear Quantum Mechanics for Density Matrices

Pavel Bóna|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 1999

Quantum Information and Cryptography参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、密度行列に対する非線形量子力学の幾何学的定式化を提案し、時間発展を密度行列の無限次元多様体上のハミルトニアン力学として扱う。『本物の混合状態』（操作的に作られた混合系）と『基本的混合状態』（一意な凸分解を持たない密度行列）を区別し、基本的混合状態はその成分を独立に発展させることで記述できないことを示し、密度演算子空間における幾何学的力学を用いて一貫した非線形力学を確立する。

ABSTRACT

Proposals for nonlinear extenstions of quantum mechanics are discussed. Two different concepts of "mixed state" for any nonlinear version of quantum theory are introduced: (i) >genuine mixture< corresponds to operational "mixing" of different ensembles, and (ii) a mixture described by single density matrix without having a canonical operational possibility to pick out its specific convex decomposition is called here an >elementary mixture

研究の動機と目的

• 混合状態に適用可能な非線形量子力学の幾何学的枠組みの構築を目的とする。
• 『本物の混合状態』（操作的に準備された）と『基本的混合状態』（一意な凸分解を持たない密度行列）の間の概念的違いを明確化すること。
• 密度行列の任意の凸分解に依存しない、基本的混合状態の時間発展を定義すること。
• 非線形量子力学を、密度行列の無限次元多様体上でのハミルトニアン力学として定式化すること。
• 幾何的構造を用いた非線形理論の量子的解釈的基盤を提供すること。

提案手法

• 密度行列の時間発展を、密度演算子の無限次元多様体上でのハミルトニアン力学として形式化する。
• 二種類の混合状態を導入する：『本物の混合状態』（操作的集合準備による）と『基本的混合状態』（標準的分解を持たない密度行列として）。
• 時間発展が密度行列の凸分解に依存しない非線形発展を定義する。
• 密度行列の空間の幾何的構造を用いて、シンプレクティック的およびポアソン型の括弧形式を定義する。
• 非線形力学を支配する、密度行列空間上のハミルトニアンベクトル場を構成する。
• 線形極限において標準的な密度行列の時間発展が回復されることにより、量子力学との一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形量子力学の拡張を、密度行列に対して一貫してどのように定式化できるか？
• RQ2 非線形時間発展下における密度行列の空間の幾何学的構造は何か？
• RQ3 なぜ密度行列の凸分解だけでは、基本的混合状態の発展を定義できないのか？
• RQ4 『本物の混合状態』と『基本的混合状態』は、それらの操作的性質と力学的性質においてどのように異なるか？
• RQ5 非線形量子理論を、密度行列の多様体上でのハミルトニアン力学として一貫して定式化できるか？

主な発見

• 本稿では、理論の非線形性のため、基本的混合状態の時間発展がその任意の凸成分の発展に依存しないことが示された。
• 幾何的定式化により、非線形量子力学が密度行列の無限次元多様体上でのハミルトニアン力学として扱われ、重要な構造が保存される。
• 『本物の混合状態』と『基本的混合状態』の区別により、非線形理論における混合状態の解釈の曖昧さが解消される。
• 理論は、線形極限で標準的量子力学に還元される一貫した動力学的枠組みを提供する。
• 形式的体系により、密度行列の動力学がその凸分解に依存せず、基本的混合状態に対して発展が明確に定義される。