[論文レビュー] Geometric generation of the wrapped Fukaya category of Weinstein manifolds and sectors

Baptiste Chantraine, Georgios Dimitroglou Rizell+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用数 39

ひとこと要約

本稿では、フロアー・コホモロジーの手術公式と、アイソトロピック・スケルトンから離れたラグランジュ部分多様体におけるフロアー・コホモロジーの消失を用いて、任意の $2n$-次元のワインバーグ多様体またはセクターのラップドル・フクヤカテゴリが、そのインデックス-$n$臨界点のラグランジュ・コア平面によって幾何学的に生成されることを証明する。主な系として、開-閉写像がホッホシュイルド・コホモロジーからシンプレクティック・コホモロジーへ同型であるというセイデルの予想が裏付けられる。

ABSTRACT

We prove that the wrapped Fukaya category of any $2n$-dimensional Weinstein manifold (or, more generally, Weinstein sector) $W$ is generated by the unstable manifolds of the index $n$ critical points of its Liouville vector field. Our proof is geometric in nature, relying on a surgery formula for Floer cohomology and the fairly simple observation that Floer cohomology vanishes for Lagrangian submanifolds that can be disjoined from the isotropic skeleton of the Weinstein manifold. Note that we do not need any additional assumptions on this skeleton. By applying our generation result to the diagonal in the product $W imes W$, we obtain as a corollary that the open-closed map from the Hochschild homology of the wrapped Fukaya category of $W$ to its symplectic cohomology is an isomorphism, proving a conjecture of Seidel. We work mainly in the "linear setup" for the wrapped Fukaya category, but we also extend the proofs to the "quadratic" and "localisation" setup. This is necessary for dealing with Weinstein sectors and for the applications.

研究の動機と目的

• アイソトロピック・スケルトンに関する仮定なしに、ワインバーグ多様体およびセクターのラップドル・フクヤカテゴリの幾何学的生成を確立すること。
• 分裂生成基準や不完全な解析的道具に依存しない、直接的な幾何学的証明による生成の確立。
• 対称多様体 $W \times W$ における対角線を用いて、開-閉写像が同型であることを証明すること。
• 線形設定から二次的および局所化設定へと結果を拡張し、セクターおよび積構造への応用を可能にすること。

提案手法

• フロアー・コホモロジーの手術公式を用いて、ラグランジュ部分多様体の変化とフロアー・コホモロジー群の変化を関連付ける。
• アイソトロピック・スケルトンから離れたラグランジュ部分多様体におけるフロアー・コホモロジーの消失という幾何的観察を適用し、スケルトンに関する追加仮定なしに成立する。
• リウヴィル流れによって誘導されるスケーリングされたハミルトニアンと微分同相写像の族を用いて、正確なラグランジュ埋め込みの継続写像およびラップドル・フロアー・コホモロジーを構成する。
• 微分同相写像の族 $\psi_{s_0, \log w}$ とスケーリング関数 $f_{s_0, \log w}$ を用いて、ラップドル・フロアー複体間の準同型を定義し、最大原理によりコンパクト性を保つ。
• スプリット・ハミルトニアンとフロアー複体の自然同型を用いて、二次的および局所化設定への構成の適応を行う。
• 積ワインバーグ多様体における対称多様体 $\Delta \subset W \times W$ に生成結果を適用し、開-閉写像の性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アイソトロピック・スケルトンに関する仮定なしに、ワインバーグ多様体のラップドル・フクヤカテゴリが、そのインデックス-$n$臨界点の不安定多様体によって幾何学的に生成可能か？
• RQ2 ラップドル・フクヤカテゴリがコア平面によって生成される場合、ホッホシュイルド・コホモロジーからシンプレクティック・コホモロジーへの開-閉写像が同型になるか？
• RQ3 ラップドル・フクヤカテゴリの線形設定を、セクターおよび積構造を取り扱うために二次的および局所化設定へどのように拡張できるか？
• RQ4 分裂生成基準に依存せず、離れたラグランジュ部分多様体におけるフロアー・コホモロジーの消失に依存する幾何学的証明による生成は可能か？
• RQ5 対称多様体 $W \times W$ における対角線が、$W$ のコアディスクの積によって生成可能か？その結果、セイデルの予想の証明が得られるか？

主な発見

• 任意の $2n$-次元ワインバーグ多様体のラップドル・フクヤカテゴリは、そのインデックス-$n$臨界点のラグランジュ・コア平面によって生成される。
• ワインバーグ・セクターのラップドル・フクヤカテゴリは、そのコンプリート化のコア平面と、ベルトのコア平面のスプローディングによって生成される。
• ホッホシュイルド・コホモロジーからシンプレクティック・コホモロジーへの開-閉写像は同型であり、セイデルの予想が裏付けられる。
• 積ワインバーグ多様体 $W \times W$ における対角ラグランジュ部分多様体は、$W$ のコアディスクの積によって、スプリット・ハミルトニアン・ラッピング構成のもとで生成される。
• 証明は二次的および局所化設定へと拡張可能であり、セクターおよび積構造への応用が可能になる。
• アイソトロピック・スケルトンから離れたラグランジュ部分多様体におけるフロアー・コホモロジーの消失は、スケルトンに関する追加仮定なしに普遍的に成立する。