[論文レビュー] Geometric inequalities, stability results and Kendall's problem in spherical space

Daniel Hug, Andreas Reichenbacher|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、球面空間における球的凸体の幾何的不等式および安定性結果を確立し、ランダムな球面ポアソン＝ボロノイタイルレーションの典型セルの漸近的形状の解析を可能にする。強度γₛが増加するにつれ、典型セルは球面キャップに集中し、偏差確率はγₛおよびε^(d+1)/2に関して指数的に減少することが示され、ケンダールの形状収束に関する球面的類似問題を解決する。

ABSTRACT

In Euclidean space, the asymptotic shape of large cells in various types of Poisson driven random tessellations has been the subject of a famous conjecture due to David Kendall. Since shape is a geometric concept and large cells are identified by means of geometric size functionals, the resolution of the conjecture is inevitably connected with geometric inequalities of isoperimetric type and their improvements in the form of geometric stability results, relating geometric size functionals and hitting functionals. The latter are deterministic characteristics of the underlying random tessellation. The current work explores specific and typical cells of random tessellations in spherical space. A key ingredient of our approach are new geometric inequalities and quantitative strengthenings in terms of stability results for quite general and some specific size and hitting functionals of spherically convex bodies. As a consequence we obtain probabilistic deviation inequalities and asymptotic distributions of quite general size functionals. In contrast to the Euclidean setting, where the asymptotic regime concerns large size, in the spherical framework the asymptotic analysis is concerned with high intensities.

研究の動機と目的

• ランダムタイルレーションにおける大きなセルの漸近的形状に関するケンダールの予想を球面設定に拡張すること。
• 球的凸体のサイズ関数およびヒット関数のための新しい幾何的不等式および定量的安定性結果を確立すること。
• 球面ポアソン＝ボロノイタイルレーションにおける一般のサイズ関数のための確率的偏差不等式および漸近的分布を導出すること。
• 高強度のポアソン過程下での球面空間における典型セルの極限形状を特定すること。

提案手法

• 球面内接球半径および角幅関数を用いて、球的凸体のための幾何的不等式を導出する。
• 元のタイルレーション過程のヒット関数と幾何的サイズ関数の間の安定性結果を導入する。
• 球面クロフトンセル理論および強度γₛのポアソン過程を用いて、球面ボロノイタイルレーションの典型セルをモデル化する。
• 原点までの距離を介した変換を用いて、球面ボロノイセルと球面超平面タイルレーションを関連付ける。
• 球面キャップ測度および強度依存のヒット確率を用いて、指数的尾部境界を適用する。
• 形状集中を定量化するための主要なサイズ関数として、球面内接球半径r₀(Z)および角幅ϑ₀(Z)を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強度γₛが高くなると、球面ポアソン＝ボロノイタイルレーションの典型セルはどのように振る舞うか？
• RQ2 高次元球面上の球的凸体の形状を支配する幾何的不等式および安定性結果は何か？
• RQ3 円形／球形への形状収束に関するケンダールの予想を球面空間に拡張できるか？
• RQ4 幾何的および確率的関数の観点から、典型セルが球面キャップに収束する速度は何か？
• RQ5 内接球半径や角幅といったサイズ関数は、元のポアソン過程の強度とどのように関係するか？

主な発見

• 典型セルZの内接球半径r₀(Z) ≥ a である確率は、exp(−γₛσ_d(B(0,2a))) のように減少し、強度と空間的集中を結びつける。
• ε ∈ (0,1] に対して、r₀(Z) ≥ a を条件とするとき、内接球半径と外接球半径の差が少なくともεである条件付き確率は、c₁₅ exp(−c₁₆ε^(d+1)/2 γₛ) で上界が与えられる。
• 定数c₁₆ ≥ π^(-4d) ω_d a^(d−1) (min{a, π/2−a})^(d−1) であり、aおよびdが大きいほど集中が強くなることを示す。
• 安定性結果により、内接球半径が大きくかつ十分な角幅を持つセルでは、球面内接球半径が外接球半径に近くなることが保証され、形状の正則性が示される。
• 強度測度γₛω_d₊₁μ(⋅)を有する非等方的球面超平面過程の球面クロフトンセルは、典型ボロノイセルをモデル化でき、正確な分布的解析が可能になる。
• 本手法により、ケンダール問題の球面的類似が確立され、強度γₛ → ∞ において形状が球面キャップに収束することが示された。