[論文レビュー] Geometric Integration Over Irregular Domains with topologic Guarantees

Christian Engwer, Andreas Nüßing|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、レベルセット関数で定義された不規則な領域に対して、トポロジーを保存する幾何的積分法を提示する。修正されたマーチング・キューブス法を用い、面および中心のテストを組み合わせることで、カットセルのトポロジーコンシステントな多面体再構成を保証し、有限要素法における2次精度の積分を可能にするとともに、グリッドの摂動や方向変更に対してもロバスト性を維持する。

ABSTRACT

Implicitly described domains are a well established tool in the simulation of time dependent problems, e.g. using level-set methods. In order to solve partial differential equations on such domains, a range of numerical methods was developed, e.g. the Immersed Boundary method, Unfitted Finite Element or Unfitted discontinuous Galerkin methods, eXtended or Generalised Finite Element methods, just to name a few. Many of these methods involve integration over cut-cells or their boundaries, as they are described by sub-domains of the original level-set mesh. We present a new algorithm to geometrically evaluate the integrals over domains described by a first-order, conforming level-set function. The integration is based on a polyhedral reconstruction of the implicit geometry, following the concepts of the Marching Cubes algorithm. The algorithm preserves various topological properties of the implicit geometry in its polyhedral reconstruction, making it suitable for Finite Element computations. Numerical experiments show second order accuracy of the integration. An implementation of the algorithm is available as free software, which allows for an easy incorporation into other projects. The software is in productive use within the DUNE framework.

研究の動機と目的

• レベルセット関数によって定義された領域における幾何的積分のトポロジー不一致を解消すること。
• 病理的ケースでさえも、カットセルおよびインターフェースの多面体再構成におけるトポロジーコンシステンシーを保証すること。
• 3次元ボリュームの三角形分割とその2次元面の三角形分割の間に一貫性を保つ方法を開発すること。
• トポロジーガラントリーを維持しながら、幾何的積分において2次精度を達成すること。
• 標準のマーチング・キューブスと比較して、パフォーマンスのオーバーヘッドを最小限に抑えること、特に現実的で滑らかなデータ条件下での性能を重視すること。

提案手法

• マーチング・キューブス法を六面体グリッドに適応するために、面および中心のテストを導入し、トポロジーアンビギュイティを解消する。
• ボリュームと面の三角形分割を用いて、レベルセットで定義された領域の内部、外部、界面の整合的な多面体表現を構築する。
• アンビギュイティケースのための事前計算済みテストを含むルックアップテーブルを用い、面および要素間の対角頂点接続性のチェックを実施する。
• 保守性と拡張性を高めるために、Pythonドライブコード生成を用いたC++での実装を実施する。
• 3次元ボリュームから導出された面の三角形分割が、直接的に面に2次元アルゴリズムを適用した結果と一致することを保証し、トポロジーコンシステンシーを確保する。
• 複数の要素タイプおよび次元をサポートするが、主な焦点は3次元六面体グリッドに置かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グリッド摂動や方向変更があっても、 implicitly 定義された領域のトポロジカル性質を保持する幾何的積分法は可能か？
• RQ2 複数の連結成分やマージング特徴を含むアンビギュイティケースにおいて、提案手法は標準のマーチング・キューブスと比較してどのように機能するか？
• RQ3 特に現実的データ分布下で、トポロジーを保存するテストによるパフォーマンスオーバーヘッドはどの程度か？
• RQ4 本手法は、カットセルにおける幾何的積分でどの程度2次精度を達成できるか？
• RQ5 最小限の修正で、再帰的適用により複数のレベルセットに拡張可能か？

主な発見

• 提案されたトポロジーを保存するマーチング・キューブス（TPMC）アルゴリズムは、カットセルにおける幾何的積分で2次精度を達成する。
• TPMCはグリッド摂動および方向変更に対してロバストであり、さまざまなトーラス構成において、重要なトポロジー変化距離が1グリッドセルサイズ（h）未満に保たれる。
• グリッド反復を含めた場合でも、相対的な時間オーバーヘッドは約1.18倍にまで低減されるが、アンビギュイティ解消時間は追加テストのため2.2倍に増加する。
• 面テストと中心テストは、それぞれ約75%および22%のキーコンピュテーションで必要とされ、中程度の予測可能な計算コストであることが示された。
• アルゴリズムは3次元ボリュームと2次元面の三角形分割の間でトポロジーコンシステンシーを維持し、信頼性の高い幾何的再構成を保証する。
• 実装はプロダクション環境対応であり、DUNE有限要素フレームワークに統合されており、既存のFEMプロジェクトでの再利用を可能にしている。