[論文レビュー] Geometric interpretation of the multi-scale entanglement renormalization ansatz

Ashley Milsted, Guifré Vidal|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2018

Quantum many-body systems被引用数 39

ひとこと要約

本稿は、MERA（多スケールもつれ縮約アンザッツ）を、以前の仮説とは異なり、双曲平面やde Sitter時空ではなく、ライトシート（L₂ᵖ）上の離散的経路積分として、きめ細やかな幾何的解釈を提供する。経路積分幾何学の枠組みを用いて、著者らは、最適化されたMERAの1層が低エネルギー状態上で恒等写像として作用することを示し、これがライトシート幾何と一致することを確認した。さらに、双曲空間やde Sitter空間上の経路積分を実現する、ユークリッド的およびローレンツ的一般化MERAを提案した。

ABSTRACT

The multi-scale entanglement renormalization ansatz (MERA) is a tensor network representation for ground states of critical quantum spin chains, with a network that extends in an additional dimension corresponding to scale. Over the years several authors have conjectured, both in the context of holography and cosmology, that MERA realizes a discrete version of some geometry. However, while one proposal argued that the tensor network should be interpreted as representing the hyperbolic plane, another proposal instead equated MERA to de Sitter spacetime. In this \letter we show, using the framework of path integral geometry [A. Milsted, G. Vidal, arXiv:1807.02501], that MERA on the real line (and finite circle) can be given a rigorous interpretation as a two-dimensional geometry, namely a light sheet (respectively, a light cone). Accordingly, MERA describes neither the hyperbolic plane nor de Sitter spacetime. However, we also propose euclidean and lorentzian generalizations of MERA that correspond to a path integral on these two geometries.

研究の動機と目的

• MERAが双曲空間、de Sitter時空、あるいは他の幾何であるかという長年の議論を解決すること。
• 経路積分幾何学の枠組みを用いて、MERAのきめ細やかな幾何的解釈を提供すること。
• MERAの1層が低エネルギー状態上で恒等写像として作用することを示し、これはライトシート幾何に対応することを確認すること。
• 双曲空間およびde Sitter幾何上の経路積分を実現する一般化MERAの変種を提案すること。

提案手法

• 著者らは、以前の研究（arXiv:1807.02501）で開発された経路積分幾何学の枠組みを用いて、臨界スピン鎖における最適化されたMERAの1層 𝒲 を分析した。
• 彼らは、スピン鎖のサイズNおよびN/2における低エネルギー部分空間上で、𝒲 が恒等写像 𝕀 として作用することを示した。これは、ライトコーン上の経路積分に特徴的な性質である。
• この結果により、ユークリッド時間発展演算子（e⁻ηH）やローレンツ時間発展演算子（e⁻iηH）に対応する解釈（それぞれ双曲空間やde Sitter時空に対応）は排除された。
• 𝒲 を、ユークリッド型の層（e⁻ηH）またはローレンツ型の層（e⁻iηH）に置き換えることで、双曲平面 H₂ および de Sitter時空 dS₂ 上の経路積分を実現する一般化MERAネットワークを構築した。
• CFT演算子との比較により、𝒲 − 𝕀 の行列要素がほとんど無視できる（≤10⁻³）ことが確認され、恒等写像に近い振る舞いであることが裏付けられた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MERAテンソルネットワークを離散的経路積分として見たとき、その真の幾何的解釈は何か？
• RQ2 なぜMERAは、以前の仮説とは異なり、双曲平面やde Sitter時空に対応しないのか？
• RQ3 MERAはどのように変更すれば、双曲空間やde Sitter幾何上の経路積分を実現できるか？
• RQ4 異なる系サイズにおいて、MERA層の作用に影響を与える参照枠の一貫性の役割は何か？

主な発見

• 最適化されたMERAの1層 𝒲 は、サイズNおよびN/2の臨界スピン鎖の低エネルギー部分空間上で恒等写像として作用し、これはライトシート幾何を示唆する。
• 𝒲 − 𝕀 の行列要素の大きさは最大で10⁻³であり、恒等写像からの著しい逸脱がないことが確認され、時間発展演算子の解釈は排除された。
• 実数直線上のMERAの幾何は、きめ細やかにライトシート（L₂ᵖ）として特定され、双曲平面（H₂ᵖ）やde Sitter時空（dS₂ᵖ）ではない。
• 著者らは、ユークリッド型の層（euclideons）を用いたユークリッド的MERAの変種を提案し、双曲平面 H₂ 上の経路積分を実現した。
• また、ローレンツ型の層（loretzions）を用いたローレンツ的MERAの変種を提案し、de Sitter時空 dS₂ 上の経路積分を実現した。
• 系サイズにわたる一貫性のある参照枠の選択により、𝒲 は恒等写像として作用する。一方、不一致な参照枠では誤った平行移動が生じるが、これは固有の幾何には含まれない。