[論文レビュー] Geometric interpretation of Thiemann's generalized Wick transform

Guillermo A. Mena Marugán|ArXiv.org|May 13, 1997

Advanced Measurement and Metrology Techniques被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、逆ワイスク回転と虚数の共形変換の組み合わせによって生じることを示すことにより、正準量子重力におけるティエマンの一般化されたワイスク変換の幾何的解釈を提供する。宇宙論的モデル、たとえばゴウディ宇宙と一般真空重力に対して、この変換が時間における解析接続に対応することが厳密に示され、ユークリッド計量からローレンツ計量への写像が虚数係数を介して行われる。これは標準的な四次元計量スケーリングとは異なっている。

ABSTRACT

In the Ashtekar and geometrodynamic formulations of vacuum general relativity, the Euclidean and Lorentzian sectors can be related by means of the generalized Wick transform discovered by Thiemann. For some vacuum gravitational systems in which there exists an intrinsic time variable which is not invariant under constant rescalings of the metric, we show that, after such a choice of time gauge and with a certain identification of parameters, the generalized Wick transform can be understood as an analytic continuation in the explicit time dependence. This result is rigorously proved for the Gowdy model with the topology of a three-torus and for a whole class of cosmological models that describe expanding universes. In these gravitational systems, the analytic continuation that reproduces the generalized Wick transform after gauge fixing turns out to map the Euclidean line element to the Lorentzian one multiplied by an imaginary factor; this transformation rule differs from that expected for an inverse Wick rotation in a complex rescaling of the four-metric. We then prove that this transformation rule for the line element continues to be valid in the most general case of vacuum gravity with no model reduction nor gauge fixing. In this general case, it is further shown that the action of the generalized Wick transform on any function of the gravitational phase space variables, the shift vector, and the lapse function can in fact be interpreted as the result of an inverse Wick rotation and a constant, imaginary conformal transformation.

研究の動機と目的

• 正準量子重力におけるティエマンの一般化されたワイスク変換の幾何的意味を明確化すること。
• この変換が宇宙論的モデルにおける時間ゲージの選択と計量スケーリングの関係にどのように関係するかを調査すること。
• 一般化されたワイスク変換と明示的に時間に依存する系における解析接続との厳密な関係を確立すること。
• モデル簡略化を超えて、ゲージ固定なしの完全な真空重力へと解釈を拡張すること。
• この変換が位相空間変数に対して逆ワイスク回転と定数の虚数共形変換の組み合わせとして作用することを示すこと。

提案手法

• 真空一般相対性理論のアシュテカール形式と幾何力学的形式の文脈で分析が行われる。
• 計量スケーリングに対して不変でない内在的な時間変数を持つ系、特に三ツォールスの上でのゴウディモデルに焦点を当てる。
• 一般化されたワイスク変換は、ゲージ固定後の明示的な時間依存性における解析接続として解釈される。
• 線素の変換則が導出され、これがユークリッド計量を虚数係数を乗じたローレンツ計量へ写像することを示している。
• この手法は一般真空重力へと拡張され、変換がすべての位相空間変数に対して逆ワイスク回転と定数の虚数共形変換として作用することが証明される。
• 証明は、重力の位相空間におけるパラメータの一貫した同定とゲージ不変構造に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ティエマンの一般化されたワイスク変換は、宇宙論的モデルにおける時間に依存するゲージ選択とどのように関係するか？
• RQ2 特定の重力系に対して、一般化されたワイスク変換は時間における解析接続として解釈可能か？
• RQ3 モデル簡略化を超えた完全な真空重力へと拡張された場合、この変換はその構造を保つのか？
• RQ4 四次元計量スケーリングにおいて、この変換は標準的な逆ワイスク回転とどのように異なるか？
• RQ5 この変換は、補助関数や時間関数を含む重力位相空間にどのように作用するか、幾何的行動は何か？

主な発見

• 三ツォールストポロジーを持つゴウディモデルにおいて、一般化されたワイスク変換が時間における解析接続に対応することが厳密に示され、ユークリッド線素が虚数係数を乗じたローレンツ線素へ写像されることを示している。
• 線素の変換則は、四次元計量の複素スケーリングで予想されるものとは異なり、特異な幾何的メカニズムを示している。
• 同様の変換則が、モデル簡略化やゲージ固定なしの真空重力の最も一般的な状況でも証明されている。
• 任意の重力位相空間変数、補助ベクトル、時間関数の関数に対する一般化されたワイスク変換の作用は、逆ワイスク回転と定数の虚数共形変換の組み合わせに等しい。
• この結果により、ティエマンの変換に対する幾何的かつ共変的解釈が確立され、正準量子重力における時間発展と共形構造とが結びつけられる。
• これらの発見は、量子重力における解析接続の役割と、一般化されたワイスク変換の物理的意味をより深く理解する手がかりを提供する。