[論文レビュー] Geometric mean extension for data sets with zeros

Roberto de la Cruz, Jan‐Ulrich Kreft|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2018

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 14被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、ゼロ値を扱いながらも、回復性（ゼロを含まないデータに対して標準幾何平均に戻ること）と単調性（ゼロを追加しても値が増加しないこと）の2つの重要な条件を満たす、データ依存の幾何平均拡張を提案する。この手法は、標準幾何平均の相対的乖離に基づく摂動パラメータ δ を用い、ゼロを含むデータセット全体にわたって一貫性と頑健性を確保する。

ABSTRACT

There are numerous examples in different research fields where the use of the geometric mean is more appropriate than the arithmetic mean. However, the geometric mean has a serious limitation in comparison with the arithmetic mean. Means are used to summarize the information in a large set of values in a single number; yet, the geometric mean of a data set with at least one zero is always zero. As a result, the geometric mean does not capture any information about the non-zero values. The purpose of this short contribution is to review solutions proposed in the literature that enable the computation of the geometric mean of data sets containing zeros and to show that they do not fulfil the `recovery' or `monotonicity' conditions that we define. The standard geometric mean should be recovered from the modified geometric mean if the data set does not contain any zeros (recovery condition). Also, if the values of an ordered data set are greater one by one than the values of another data set then the modified geometric mean of the first data set must be greater than the modified geometric mean of the second data set (monotonicity condition). We then formulate a modified version of the geometric mean that can handle zeros while satisfying both desired conditions.

研究の動機と目的

• 標準幾何平均が任意のデータポイントがゼロの場合にゼロになってしまうという限界を解消し、非ゼロ値に関する情報を損なわないようにすること。
• 特に回復性と単調性の条件を満たさないという欠陥を示す、ゼロを含むデータセットにおける幾何平均を計算する既存の手法を評価すること。
• ゼロを含まないデータセットでは標準幾何平均を再現する（回復性）、ゼロが追加されても値が増加しない（単調性）という性質を保持するように、修正された幾何平均を開発すること。
• ゼロが存在する状況でも、データに適応する実用的で一貫性のある幾何平均および標準偏差の計算手法を提供し、複数のデータセット間での比較に適したものとすること。

提案手法

• データセット $ X $ に依存する修正幾何平均 $ G_{\rho,X} $ を定義し、ゼロ値に対応するための摂動パラメータ $ \delta $ を用いる。
• 二分法を用いて $ \delta $ を計算し、標準幾何平均 $ G(X_+) $ と修正平均 $ G_{\epsilon,X}(X) $ の相対差が $ \epsilon $ 以内に収まるようにする。これにより回復性が保証される。
• 修正幾何平均を $ G_{\epsilon,X}(X) = \left( \prod_{i=1}^n (x_i + \delta)^{1/n} \right) $ として定式化する。ここで $ \delta $ は回復性を満たすように選ばれる。
• すべてのデータ値が増加する場合にのみ修正平均が増加し、ゼロが追加されても値が上昇しないように $ \delta $ を構築することで単調性を保証する。
• 複数のデータセットにわたる一貫性のある比較を可能にするために、最小の $ \delta $ を用いて摂動パラメータを標準化する統一された比較手順を提案する。
• 修正幾何平均を幾何標準偏差に拡張するため、摂動値と修正幾何平均を用いて $ \sigma_{gsd}^{\epsilon,X} $ を定義するが、過剰なインフレーションの可能性には注意を要する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼロが存在しない場合に標準幾何平均に回復するような修正幾何平均を構築できるか？
• RQ2 データセットにゼロが追加された場合、修正幾何平均は非増加のままであるか？
• RQ3 統計的整合性を保ちつつ、ゼロを含むデータセットにおいて一貫性があり、データに適応する幾何平均の計算手法を構築できるか？
• RQ4 修正幾何平均を幾何標準偏差に拡張する際、過剰なばらつきを引き起こさないか？

主な発見

• 提案手法は、ハビブの手法や+1シフト法など、先行手法とは異なり、回復性と単調性の両条件を満たす。
• 修正幾何平均 $ G_{\epsilon,X} $ は $ \delta $ に関して厳密に増加するため、データの順序と単調性の整合性が保証される。
• 正の値が983個、ゼロが17個のデータセットにおいて、追加のゼロが加えられても修正幾何平均は安定かつ非増加のままである。これに対してハビブの手法は、値が上昇した後で減少する。
• ゼロが追加されると、修正幾何標準偏差は過剰に大きくなる可能性があり、現行の定式化における限界を示している。
• 最小の $ \delta $ を複数のデータセットにわたって用いることで、摂動パラメータを標準化し、信頼性のあるデータセット間比較を可能にする。
• 著者らは、再現性と応用を支援するため、GitHub で利用可能な MATLAB および Python のオープンソース実装を提供している。