[論文レビュー] Geometric mean method for judgement matrices: Formulas for errors

I. L. Tomashevskii|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2014

Multi-Criteria Decision Making参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、幾何平均法（GMM）における長年の信頼性問題を解決し、GMMの数値誤差に対する正確な公式を導出することで、GMMの信頼性を完全に確立する。GMMを標準的な測定プロセスとしてモデル化し、誤差指標を統合することで、GMMおよびEM（固有ベクトル法）の両者で観察されていた順位逆転現象を解消し、正の値をとる要素について、精度と一貫性の点でEMと同等の完全に信頼できる意思決定支援ツールとしてのGMMの地位を確立する。

ABSTRACT

The geometric mean method (GMM) and the eigenvector method (EM) are well-known approaches to deriving information from pairwise comparison matrices in decision making processes. However, the original algorithms of these methods are logically incomplete and have significant drawbacks: their actual numerical errors are unknown and their reliability is doubted by different rank reversal phenomena including the GMM-EM ones. Recently (Tomashevskii 2015: Eur J Oper Res 240:774-780), the actual numerical errors were found for EM, and it was shown that all EM rank reversal phenomena have the same cause and are eliminated when the errors are taken into account. In this paper the similar ap-proach is used for GMM: we associate GMM with some standard measuring procedure, ana-lyze this procedure from the viewpoint of measurement theory, and find the actual GMM errors. We show that the GMM and the GMM-EM rank reversal phenomena are eliminated when the GMM and the EM errors are taken into account. The GMM decision support tool, which has all components of a standard measuring tool, is composed of pairwise comparisons as an initial measuring procedure, GMM as a data processor, and the obtained formulas for GMM errors as an error indicator. This tool is analogous to the EM decision support tool received earlier in the above paper. It is shown that the EM and the GMM versions of the tool are equally suitable to measure and rank any comparable elements with positive numerical values. We also analyze the Geometric Consistency Index usually used in the original GMM to measure of the inconsistency and to accept or reject an inconsistent pairwise comparison matrix, and show that this index is not an acceptable GMM error indicator.

研究の動機と目的

• 元のGMMアルゴリズムにおける論理的不完全性と未知の数値誤差を解消すること。
• 意思決定における信頼性を損なう、GMMおよびGMM-EM比較における継続的な順位逆転現象を解消すること。
• 誤差指標を備えた、最近確立されたEMベースのツールに類似した完全なGMM用意思決定支援ツールを開発すること。
• 幾何的一致性指数（GCI）がGMMにおける不一致の尺度として有効かどうかを評価すること。
• 誤差を適切に考慮した場合、GMMとEMが正の値をとる比較可能な要素の測定および順位付けに同等に適していることを示すこと。

提案手法

• GMMを標準的な測定手順としてモデル化し、測定理論に統合することで誤差源を定義する。
• 統計的および最適化的原則を用いて、GMMにおける実際の数値誤差を明示的な数学的公式として導出する。
• 導出された誤差公式を統合した完全な意思決定支援ツールを構築し、3つの構成要素（対比較、GMM処理、誤差指標）を備える。
• 誤差補正済みの順位を用いて、同一条件下でのGMMと固有ベクトル法（EM）の性能を比較する。
• 幾何的一致性指数（GCI）を不一致の尺度として分析し、誤差指標としての有効性を評価する。
• 事前に発表済みのEMに適用された同一理論枠組みをGMMに適用することで、GMMとEMツール間の整合性と比較可能性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対比較行列における幾何平均法（GMM）の実際の数値誤差は何か？
• RQ2 なぜGMMおよびGMM-EMで順位逆転現象が発生するのか？誤差を考慮することでこれを解消できるか？
• RQ3 幾何的一致性指数（GCI）はGMM誤差の有効な指標であるか、それとも誤解を招くものか？
• RQ4 誤差指標を備えた完全なGMM用意思決定支援ツールを、以前に開発された固有ベクトル法（EM）用ツールに類似した形で構築できるか？
• RQ5 誤差を適切に考慮した場合、GMMとEMは正の値をとる要素の順位付けに同等に信頼性があり、正確に適していると言えるか？

主な発見

• 幾何平均法（GMM）における実際の数値誤差が導出され、明示的な数学的公式を用いて定量的に評価可能であることが示された。
• 導出された誤差公式を適用することで、GMMおよびGMM-EMのすべての順位逆転現象が解消され、重大な信頼性上の懸念が解決された。
• 幾何的一致性指数（GCI）はGMMの誤差指標として有効ではなく、行列の不一致の評価や受容／不受理の判断に使用すべきではない。
• 対比較、GMM処理、誤差指標という3つの構成要素を備えた完全なGMM用意思決定支援ツールが構築され、EMベースのツールと機能的に同等のものとなった。
• 誤差を適切に考慮した場合、GMMとEMは任意の正の値をとる比較可能な要素の測定および順位付けに同等に適していることが確認された。
• 本研究により、両手法における順位逆転の根本的要因は、適切な誤差定量化の欠如に起因しており、GMMにおいてはこれにすでに解決されたことが明らかになった。