[論文レビュー] Geometric measures for hyperbolic sets on surfaces

Alberto A. Pinto, D.A.J. Rand|ArXiv.org|May 15, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、双曲的基本集合に Hausdorff 測度に対して絶対連続な不変測度をもつ曲面上の双曲的力学系のためのモジュライ空間を導入し、2つの新しい不変量、測度ソリノイド関数とコサイクルギャップペアを用いる。Livšic および Sinai の固有値基準を曲面上の双曲的系へと拡張し、周期点の安定・非安定固有値の集合が、この設定におけるリプシッツ同相類を完全に分類することを証明する。

ABSTRACT

We present a moduli space for all hyperbolic basic sets of diffeomorphisms on surfaces that have an invariant measure that is absolutely continuous with respect to Hausdorff measure. To do this we introduce two new invariants: the measure solenoid function and the cocycle-gap pair. We extend the eigenvalue formula of A. N. Livsic and Ja. G. Sinai for Anosov diffeomorphisms which preserve an absolutely continuous measure to hyperbolic basic sets on surfaces which possess an invariant measure absolutely continuous with respect to Hausdorff measure. We characterise the Lipschitz conjugacy classes of such hyperbolic systems in a number of ways, for example, in terms of eigenvalues of periodic points and Gibbs measures.

研究の動機と目的

• C^{1+} 双曲的微分同相写像が Hausdorff 測度に対して絶対連続な不変測度をもつような曲面上のモジュライ空間を構築すること。
• Anosov 系に対する Livšic-Sinai 固有値基準を、曲面上の一般の双曲的基本集合へと拡張すること。
• スペクトル的不変量とギブズ測度を用いて、このような系のリプシッツ同相類を特徴付けること。
• 2つの新しい不変量、測度ソリノイド関数とコサイクルギャップペアを導入し、分類のための道具として研究すること。
• C^{1+}-Hausdorff 実現可能なギブズ測度と、モジュライ空間内のリプシッツ同相類との間に一対一対応を確立すること。

提案手法

• 安定・非安定葉のハウスドルフ次元 $\delta_s$, $\delta_u$ を固定した $C^{1+}$ 双曲的微分同相写像のモジュライ空間 ${\mathcal{T}}_{f,\Lambda}(\delta_s, \delta_u)$ を定義する。
• 測度ソリノイド関数を、力学的構造とハウスドルフ測度構造から導かれる幾何的不変量として導入する。
• コサイクルギャップペアを、ソリノイド関数内のギャップ構造を符号化する関数のペアとして定義し、同相類のパrametrization に不可欠である。
• マルコフ分割と記号的力学を用いて、力学系を有限型の部分シフトへと持ち上げ、ギブズ測度の利用を可能にする。
• マーキング写像 $i_g$ による測度のプッシュフォワードを用いて、ギブズ測度のハウスドルフ実現を構成する。
• 周期軌道の固有値の集合が、リプシッツ同相類の完全不変量であることを証明し、de la Llave, Marco, および Moriyón の結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的基本集合 $\Lambda_g$ 上で、$g$-不変測度が Hausdorff 測度に対して絶対連続であるための条件は何か？
• RQ2 周期軌道の固有値の集合は、曲面上の双曲的微分同相写像のリプシッツ同相類をどのように分類できるか？
• RQ3 測度ソリノイド関数とコサイクルギャップペアは、モジュライ空間内の同相類をパラメータ化する際に果たす役割は何か？
• RQ4 ギブズ測度は、曲面上の双曲的系の文脈で、ハウスドルフ実現とどのように関係するか？
• RQ5 固有値条件 $|\lambda_{g,s}(x)^{\delta_{g,s}} \lambda_{g,u}(x)^{\delta_{g,u}}| = 1$ は、不変測度の絶対連続性を完全に特徴づける基準として用いられるか？

主な発見

• 本稿は、$C^{1+}$ 双曲的微分同相写像 $g$ が $\Lambda_g$ 上で $g$-不変測度を Hausdorff 測度に対して絶対連続に持つための必要十分条件が、すべての周期点 $x$ に対して $|\lambda_{g,s}(x)^{\delta_{g,s}} \lambda_{g,u}(x)^{\delta_{g,u}}| = 1$ が成り立つことであることを確立した。
• ${\mathcal{T}}_{f,\Lambda}(\delta_s, \delta_u)$ 内で、$g$ のすべての周期軌道の安定・非安定固有値の集合が、リプシッツ同相類の完全不変量をなす。
• $C^{1+}$-Hausdorff 実現可能なギブズ測度 $\nu$ と、${\mathcal{T}}_{f,\Lambda}(\delta_s, \delta_u)$ 内のリプシッツ同相類との間に一対一対応が存在する。
• コサイクルギャップペアは、各同相類内の $C^{1+}$ 自己再正規化構造の集合をパラメータ化する。このようなペアの空間は無限次元である。
• 各ギブズ測度 $\nu$ に対して、$\delta_\iota$-有界なソリノイド同値類が、Hausdorff 測度に対して絶対連続な不変測度をもつ $C^{1+}$ 同相類を一意に定める。
• $C^{1+}$ 自己再正規化構造は、$\iota$-ソリノイド関数によって一意に決定され、このような構造は空間 $\mathcal{JG}^\iota(\nu, \delta)$ 内のコサイクルギャップペアによってパラメータ化される。