[論文レビュー] Geometric objects associated with the fundamental connections in Finsler geometry

Nabil L. Youssef, S. H. Abed+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、Finsler幾何における基本的な線形接続—特にCartan接続、Berwald接続、Chern接続、Hashiguchi接続—に関連するねじれおよび曲率テンソル場の、座標に依存しない内挿的考察を提供する。正則接続に関するプルバックバンドル上で普遍的な関係を導出することで、古典的結果を統一的かつ一般化する基礎的な幾何的性質を確立し、リーマン幾何に比べてFinsler幾何が持つより豊かなねじれおよび曲率構造を深く理解する手がかりを提供する。

ABSTRACT

The aim of the present paper is to provide an \emph{intrinsic} investigation of the properties of the most important geometric objects associated with the fundamental linear connections in Finsler geometry. We investigate intrinsically the most general relations concerning the torsion tensor fields and the curvature tensor fields associated with a given regular connection on the pullback bundle of a Finsler manifold. These relations, in turn, play a key role in obtaining other interesting results concerning the properties of the most important geometric objects associated with the fundamental canonical linear connections on the pullback bundle of a Finsler manifold, namely, the Cartan connection, the Berwald connection, the Chern (Rund) connection and the Hashiguchi connection. For the sake of completeness and for comparison reasons, we provide an appendix presenting a global survey of canonical linear connections in Finsler geometry and the fundamental geometric objects associated with them.

研究の動機と目的

• Finsler多様体のプルバックバンドル上での正則線形接続に関連するねじれおよび曲率テンソル場の、座標に依存しない内挿的分析を提供すること。
• 任意の正則接続に対してねじれと曲率テンソルの間の普遍的関係を確立し、特定の標準接続を研究する基盤を提供すること。
• Finsler幾何学において最も重要な標準接続（Cartan, Berwald, Chern, Hashiguchi）の幾何的性質を体系的に調査すること。
• 局所的古典的結果を内挿的対応物に一般化することで統一し、一貫性とより深い幾何的洞察を保証すること。
• 付録において、比較と完全性を目的として、標準接続およびそれらに関連する幾何的対象の包括的グローバルなサーベイを提供すること。

提案手法

• 本研究は、Finsler多様体の接束 $TM$ を射影 $ olinebreak[4]\pi: \mathcal{T}M \to M$ でプルバックした $ olinebreak[4]\pi^{-1}(TM)$ 上で展開され、Finsler幾何における方向依存性を扱う。
• インデックス表記を用いずに、内積 $i_X$、外微分 $d$、およびリー微分に類似した作用素 $d_L = [i_L, d]$ を用いた、内挿的微分幾何的道具を用いてテンソル場を定義・操作する。
• 分析は、$\pi$-ベクトル場 $\overline{X}$, $\overline{Y}$, $\overline{Z}$ 及びそれらのさまざまな接続における共変微分に焦点を当てる。ねじれおよび曲率は、共変微分の交換子を用いて定義される。
• ねじれテンソル $T$, $\widehat{P}$、曲率テンソル $S$, $P$, $R$ 及びその変種 $S^\diamond$, $P^\diamond$, $R^\diamond$ などの主要な幾何的対象を内挿的に導出し、構造的恒等式によって関連付ける。
• 接続の分解を介して水平方向（$\beta$）と垂直方向（$\gamma$）を区別することで、ねじれおよび曲率を（h）v、（h）hv、（v）hv などの成分に分類可能となる。
• 本稿は、各標準接続の曲率テンソルの明示的内挿的公式を、元となるCartan接続の曲率およびねじれを用いて導出する。$\nabla_{\gamma\overline{X}}\nabla_{\gamma\overline{Y}}\overline{Z}$ や交換子 $[\gamma\overline{X}, \gamma\overline{Y}]$ といった用語を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プルバックバンドル上の一般の正則接続のねじれおよび曲率テンソル場は、局所座標に依存せずに、どのように内挿的に関係しているか？
• RQ2 Finsler幾何におけるCartan接続のねじれおよび曲率の内挿的幾何的性質は何か？
• RQ3 Berwald接続、Chern接続、Hashiguchi接続のねじれおよび曲率構造は、Cartan接続とはどのように異なり、どのように関連しているか？
• RQ4 これらの接続の計量適合性を保証する内挿的条件は何か？また、それらは標準接続間でどのように異なるか？
• RQ5 Chern接続およびHashiguchi接続の曲率テンソルは、Cartan接続の曲率およびねじれを用いてどのように表現できるか？

主な発見

• 任意の正則接続が $\pi^{-1}(TM)$ 上で満たすねじれおよび曲率テンソル場の間には、特定の標準接続を分析する基盤をなす普遍的内挿的関係が存在する。
• Cartan接続は非自明な v-曲率 $S$ および hv-曲率 $P$ を持ち、$S$ が基本的曲率対象である。一方、h-曲率 $R$ も非ゼロであり、底多様体のリーマン曲率と関係している。
• Chern接続は v-曲率がゼロである（$S^\diamond = 0$）、その hv-曲率 $P^\diamond$ はねじれおよび共変微分項によって修正されている：$P^\diamond = P - T(\widehat{P}, \cdot) + (\nabla_{\beta X}T)(\cdot)$。
• Hashiguchi接続はCartan接続の v-曲率を保存する（$S^* = S$）が、その hv-曲率 $P^*$ には $\widehat{P}$ および $\nabla_{\gamma Y}\widehat{P}$ を含む追加項が含まれており、水平方向における非計量性を反映している。
• Berwald接続は v-曲率がゼロである（$S^\circ = 0$）、その hv-曲率 $P^\circ$ は $P + \nabla_{\gamma Y}\widehat{P} + \widehat{P}(T(\cdot, \cdot), \cdot) + \cdots$ として表現され、ねじれと非計量性の複雑な相互作用を示している。
• Berwald接続の h-曲率 $R^\circ$ は $R$ から $T(\widehat{R}, \cdot)$ および $\nabla_{\beta X}\widehat{P}$ の項によって補正されており、Berwald接続の曲率が単にCartan接続から直接引き継がれるわけではないことを示している。