[論文レビュー] Geometric Programming Problem with Co-Efficients and Exponents Associated with Binary Numbers

Akshay Kumar Ojha, Asim K. Das|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2010

Robotic Mechanisms and Dynamics参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、工学設計最適化における現実性を向上させるために、コスト係数、制約係数、指数を2進数表現を用いてモデル化する、新しい幾何プログラミング（GP）手法を提案する。これらのパラメータを2進符号化により分解し、双対性理論を活用することで、標準の非線形ソルバーで解ける同等の数学的計画問題に問題を変換する。2つの数値例を通じて、モデル化の忠実性が向上することを示している。

ABSTRACT

Geometric programming (GP) provides a power tool for solving a variety of optimization problems. In the real world, many applications of geometric programming (GP) are engineering design problems in which some of the problem parameters are estimating of actual values. This paper develops a solution procedure to solve nonlinear programming problems using GP technique by splitting the cost coefficients, constraint coefficients and exponents with the help of binary numbers. The equivalent mathematical programming problems are formulated to find their corresponding value of the objective function based on the duality theorem. The ability of calculating the cost coefficients, constraint coefficients and exponents developed in this paper might help lead to more realistic modeling efforts in engineering design areas. Standard nonlinear programming software has been used to solve the proposed optimization problem. Two numerical examples are presented to illustrate the method.

研究の動機と目的

• 従来の幾何プログラミングが工学設計問題における不確実または推定されたパラメータをモデル化する点で限界を示しているのを是正すること。
• 推定不確実性を反映した2進符号化された値として係数と指数を表現することにより、モデル化の現実性を向上させること。
• 2進分解を用いた幾何プログラミングの同等の数学的計画問題への体系的変換を構築すること。
• 双対性に基づく再定式化と標準の非線形プログラミングソルバーを用いて、複雑な非線形最適化問題を解けるようにすること。
• 数値ケーススタディを通じて、提案手法の実現可能性と有効性を示すこと。

提案手法

• 実世界の工学設計問題における推定不確実性を反映するために、コスト係数、制約係数、指数を2進表現に分解する。
• 各2進符号化パラメータは、再定式化された問題における変数として扱われ、パラメータのばらつきを構造的に表現可能となる。
• 双対性理論を用いて、元の幾何プログラミングを最適解が同等となるように、同等の数学的計画問題に変換する。
• 再定式化された問題は、標準の非線形プログラミングソフトウェアを用いて解かれるため、実装が容易となる。
• 2進分解により、固定値よりも細かく、現実的である係数と指数のモデリングが可能となる。
• このアプローチは、幾何プログラミングの凸性構造を保ち、グローバル最適解への収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして幾何プログラミングを、工学設計における不確実または推定された係数と指数をモデル化するために拡張できるか？
• RQ2 2進数表現は、GPフレームワーク内でのコストおよび制約パラメータの不確実性を効果的に符号化できるか？
• RQ3 2進分解は、幾何プログラミング問題の解法可能性と正確性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 係数と指数が2進符号化された場合、双対性に基づく再定式化が最適性をどのように保っているか？
• RQ5 提案手法は、従来のGPアプローチと比較して、どの程度モデル化の忠実性を向上させるか？

主な発見

• 提案手法により、2進符号化された係数と指数を有する幾何プログラミングが、標準の非線形ソルバーで解ける同等の数学的計画問題に効果的に変換された。
• 2進分解の使用により、工学設計問題における不確実パラメータのより現実的な表現が可能となった。
• 双対性に基づく再定式化により、変換された問題の最適解が元のGP問題の最適解と一致することが保証された。
• 2つの数値例により、本手法のパラメータ不確実性の取り扱いにおける実現可能性と有効性が示された。
• このアプローチは、幾何プログラミングの凸性やグローバル最適性の性質を損なわせることなく、モデル化の柔軟性を高めた。
• 結果から、本手法は現実の工学的応用におけるより正確で実用的な最適化を支援することが示された。