[論文レビュー] Geometric Quantization and No Go Theorems

Viktor L. Ginzburg, Richard Montgomery|ArXiv.org|Mar 18, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、幾何学的量子化における「不可能性の定理」を確立し、球面のようなシンプレクティック同次空間を含む、広範なクラスのケーラー多様体に対して、量子化のバンドル上での射影的に平坦な接続を定義することが不可能であるため、普遍的な量子化が存在しないことを証明している。中心的な結果は、コンパクトなシンプレクティック多様体上の滑らかな関数のリー代数に、本質的に非自明な有限次元表現が存在しないことである。これにより、普遍的な量子化手順が妨げられる。

ABSTRACT

A geometric quantization of a Kähler manifold, viewed as a symplectic manifold, depends on the complex structure compatible with the symplectic form. The quantizations form a vector bundle over the space of such complex structures. Having a canonical quantization would amount to finding a natural (projectively) flat connection on this vector bundle. We prove that for a broad class of manifolds, including symplectic homogeneous spaces (e.g., the sphere), such connection does not exist. This is a consequence of a ``no go'' theorem claiming that the entire Lie algebra of smooth functions on a compact symplectic manifold cannot be quantized, i.e., it has no essentially nontrivial finite-dimensional representations.

研究の動機と目的

• ケーラー多様体をシンプレクティック多様体として見た場合の、標準的幾何学的量子化手順の存在を調査すること。
• 与えられたシンプレクティック形式と整合する複素構造の空間上で、量子化のベクトルバンドルに自然な射影的に平坦な接続を定義できるかどうかを特定すること。
• コンパクトなシンプレクティック多様体上の滑らかな関数のリー代数を有限次元表現によって量子化することは不可能であることを確立すること。
• 量子力学における「不可能性の定理」を、ケーラー多様体上の幾何学的量子化のより広範な枠組みへと拡張すること。
• シンプレクティック幾何学およびケーラー幾何学における普遍的量子化手順の障害を明確にすること。

提案手法

• 著者たちは、固定されたシンプレクティック形式と整合する複素構造の空間上の幾何学的量子化のバンドルを分析する。
• 標準的量子化の存在を、このバンドル上での射影的に平坦な接続の存在に還元する。
• 表現論的技法を用いて、このような接続が滑らかな関数のリー代数の有限次元表現の存在を意味することを示す。
• コンパクトなシンプレクティック多様体上の滑らかな関数のリー代数に、本質的に非自明な有限次元表現が存在しないことを証明する。
• 証明は、コンパクトなシンプレクティック多様体のコホロジー的および構造的性質と、その関数代数の性質に依存する。
• この議論は、球面やその他の対称空間を含むシンプレクティック同次空間にも適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー多様体に対して、量子化のバンドル上での射影的に平坦な接続を介して、標準的幾何学的量子化を定義できるか？
• RQ2 コンパクトなシンプレクティック多様体上の滑らかな関数のリー代数を有限次元表現によって表現することは可能か？
• RQ3 幾何学的量子化における普遍的量子化手順の障害は何か？
• RQ4 対称構造を持つにもかかわらず、シンプレクティック同次空間は自然な量子化を備えているか？
• RQ5 滑らかな関数代数の有限次元表現の不在は、幾何学的量子化における根本的な制限を示唆するか？

主な発見

• 球面のようなシンプレクティック同次空間を含む、広範なクラスのケーラー多様体に対して、標準的幾何学的量子化は存在しない。
• 障害は、コンパクトなシンプレクティック多様体上の滑らかな関数のリー代数に、本質的に非自明な有限次元表現が存在しないことに起因する。
• このような表現の不在は、複素構造の空間上での量子化バンドルに射影的に平坦な接続が存在しないことを意味する。
• この結果は、幾何学的量子化における「不可能性の定理」として成立し、量子力学における以前の障害を一般化する。
• この定理は、トポロジーや対称性にかかわらず、すべてのコンパクトなシンプレクティック多様体に普遍的に適用可能である。
• 不可能性は、コンパクトなシンプレクティック多様体上の滑らかな関数代数の代数的およびコホロジー的構造に根ざしている。