[論文レビュー] Geometric Quantization of Vector Bundles

Eli Hawkins|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、コンpact Kähler多様体上の滑らかなベクトルバンドルへの幾何的量子化の拡張を、バンドル上の接続の選択に依存する関手的な量子化手順の構成によって行っている。主な貢献は、連続的なC*-代数の場の厳密な構成と、古典的バンドルが極限で回復される量子化写像の構成であり、プランク定数が増加する際、射影作用素が量子ヒルベルト空間に収束することを示している。

ABSTRACT

I repeat my definition for quantization of a vector bundle. For the case of Toeplitz and geometric quantization of a compact Kaehler Manifold, I give a construction for quantizing any smooth vector bundle which depends functorially on a choice of connection on the bundle.

研究の動機と目的

• 多様体に次ぐ基本的な幾何的構造としてのベクトルバンドルを含めるように、可観測量の代数に限らない幾何的量子化を拡張すること。
• コンpact Kähler多様体上の任意の滑らかなベクトルバンドルに対して関手的な量子化手順を提供すること。
• 構成が多様体の幾何的構造、ベクトルバンドル、および選択された接続にのみ依存することを保証すること。
• 大N極限における量子射影作用素が古典的バンドルに収束することを確立すること。
• Dolbeault型作用素とねじれた接続を用いて、以前の余随伴軌道に関する結果を任意のベクトルバンドルへ一般化すること。

提案手法

• 正の整数の1点コンパクト化によって添え字づけられた連続的なC*-代数の場を用い、各ファイバーは有限次元の行列代数である。
• 多様体上の滑らかな関数から連続的な場の断面への量子化写像Qを構成し、極限点∞で古典的関数を回復する。
• L_Nを正の線束とするとき、V*⊗L_N 上にねじれたDolbeault作用素D_Vを導入し、その核を量子ヒルベルト空間として定義する。
• D_Vの核への射影作用素Π_N^Vを導入し、これがバンドルの量子ヒルベルト空間を定義する。
• スペクトル理論とリゾルベント推定を用いて、曲率および接続の有界性が満たされる条件下で、Π_N^V がN→∞のときノルム収束することを示す。
• 射影作用素のコーシー積分表示を用いて、異なる接続間の比較を行い、接続の変更に伴う射影作用素のノルム収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的量子化は、関数の代数から関手的にベクトルバンドルへどのように拡張可能か？
• RQ2 ベクトルバンドル上の接続は、幾何的量子化におけるその量子アナログを定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 プランクパrameter N→∞ の極限において、量子射影作用素Π_N^V は、接続の選択に依存せず、一意に定まる極限に収束するか？
• RQ4 同じバンドル上の異なる接続に対して、量子状態の収束が一様に確立可能か？
• RQ5 ねじれたDolbeault作用素のスペクトルギャップは、大Nにおける量子ヒルベルト空間の構造をどのように制御するか？

主な発見

• 十分に大きなNに対して、V*⊗L_N 上のねじれたDolbeault作用素D_V の核は、すべて偶数次元であり、奇数次元成分を含まない。
• D_V の核は非自明であり、任意の非ゼロ切断に対して、ゼロ次元成分が消えないことを保証しており、量子ヒルベルト空間が非退化であることを示している。
• 接続が内積と整合する場合、D_V の射影作用素Π_N^V はN→∞のときノルムでゼロに収束する。
• 同じバンドル上の2つの異なる接続VとWに対して、射影作用素の差は、||Π_N^V - Π_N^W|| ≤ C(N-C)^{-1/2} を満たし、ある定数Cに対してN→∞のときノルムでゼロに収束する。
• 構成は関手的である：バンドル上の接続の変更は、大N極限において量子射影作用素のノルム連続変形を誘発する。
• 自明バンドルの量子ヒルベルト空間は、L_N の正則断面の古典的空間を回復し、極限でKodairaの消滅定理が回復される。