[論文レビュー] Geometric representations of Coxeter groups with respect to asymmetric bilinear forms

Robert G. Donnelly|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 1被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、非対称な双一次形式を用いたコクセター群の非対称な幾何的表現を調べ、標準的な表現を一般化してカク＝ムーディー・ワイル群を含むものとする。根が複数存在するかどうか、および群の元によって負の根に写される根の数が有限であるかどうかについて、コクセター図に関連するグラフに基づく組合せ的特徴付けを提供し、対称の場合の結果を非対称な設定に拡張する。

ABSTRACT

Results are obtained concerning the roots of asymmetric geometric representations of Coxeter groups. These representations were independently introduced by Vinberg and Eriksson, and generalize the standard geometric representation of a Coxeter group in such a way as to include all Kac--Moody Weyl groups. In particular, a characterization of when a non-trivial multiple of a root may also be a root is given in the general context. Characterizations of when the number of such multiples of a root is finite and when the number of positive roots sent to negative roots by a group element is finite are also given. These characterizations are stated in terms of combinatorial conditions on a graph closely related to the Coxeter graph for the group. Other finiteness results for the symmetric case which are connected to the Tits cone and to a natural partial order on positive roots are extended to this asymmetric setting.

研究の動機と目的

• 非対称な双一次形式を用いて、コクセター群の対称的幾何的表現から得られる有限性の結果を非対称な場合に拡張すること。
• 非対称な幾何的表現において、根の非自明な倍数が再び根であるような条件を同定すること。
• 群の元によって正の根が負の根に写される数が有限となる組合せ的条件を同定すること。
• 対称な場合に根の正の部分集合に対するティーツの錐と部分順序に関する結果を、非対称な設定に一般化すること。
• コクセター図に関連するグラフの構造と根系の有限性特性との間の関係を確立すること。

提案手法

• 非対称な双一次形式を用いてコクセター群の幾何的表現を定義し、標準的な対称的ケースを一般化する。
• コクセター図に密接に関連するグラフを導入し、根系構造に関連する組合せ的データを符号化する。
• このグラフ上の組合せ的条件を適用して、根の重複度および負の根への写像の有限性を分析する。
• 対称な場合の概念（例えばティーツの錐や正の根に対する部分順序）を非対称な設定に適応する。
• 表現論的技法を用いて、群作用下での根の挙動を分析する。
• 関連するコクセター型のグラフのグラフ論的性質を用いて、根の重複度および有限性の特徴付けを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関連するグラフにどのような組合せ的条件が満たされているとき、非対称な幾何的表現において根の非自明な倍数も再び根となるか？
• RQ2 この非対称な設定において、与えられた群の元によって正の根が負の根に写される数が有限となるのはいつか？
• RQ3 ティーツの錐に関連する対称な場合の有限性結果を、非対称な幾何的表現にどのように拡張できるか？
• RQ4 グラフの構造と非対称表現における根の重複度の関係は何か？
• RQ5 非対称な双一次形式の文脈において、正の根に対する部分順序とティーツの錐はどのように一般化されるか？

主な発見

• 根の非自明な倍数が再び根であるのは、コクセター図に関連するグラフに特定の組合せ的条件が満たされている場合に限る。
• 群の元によって正の根が負の根に写される数が有限であるのは、特定のグラフ論的制約が満たされている場合に限る。
• 根の重複度および負の根への写像の有限性は、すべて関連するグラフ上の組合せ的データによって完全に特徴付けられる。
• 特にティーツの錐と正の根に対する部分順序に関連する対称な場合の結果の拡張は、同じ組合せ的条件下で非対称な設定においても成り立つ。
• この枠組みにより、非対称な双一次形式を用いて、標準的な幾何的表現を、すべてのカク＝ムーディー・ワイル群を含む形に一般化することができた。
• 結果は、非対称な設定でも、根の構造的有限性の性質が保持されることを示しており、今や導出されたグラフの組合せ論的性質によって支配されている。