[論文レビュー] Geometric Rigidity Estimates for Incompatible Fields in Dimension $\ge$ 3

Gianluca Lauteri, Stephan Luckhaus|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ n \geq 3 $次元における非整合な行列場に対して幾何的剛性推定を確立し、$ p > 1^* = \frac{n}{n-1} $ におけるスケーリング不変 $ L^p $ 界と、臨界指数における弱 $ L^{1^*} $ 界を示している。平均化線形ホモトピー作用素を導入して非整合な場を分解し、$ \operatorname{Curl} $ が有界な $ SO(n) $-値場に対して $ BV $ 界を得ており、これはその場がほとんど everywhere で $ SO(n) $ に値し、$ \operatorname{Curl} $ が有限である場合、その場が $ BV $ に属することを示している。

ABSTRACT

We prove geometric rigidity inequalities for incompatible fields in dimension higher than 2. We are able to obtain strong scaling-invariant $L^p$ estimates in the supercritical regime, while for critical exponent $1^* = \frac{n}{n-1}$ we have a scaling invariant inequality only for the weak-$L^1$ norm. Although not optimal, such an estimate in $L^{1 ,\infty}$ is enough in order to infer a useful lemma which gives $BV$ bounds for $SO(n)$-valued fields with bounded Curl.

研究の動機と目的

• 古典的な勾配に基づく推定が失敗する次元 $ n \geq 3 $ における非整合な場への幾何的剛性推定の拡張。
• 非整合な場に対して、$ p > 1^* = \frac{n}{n-1} $ におけるスケーリング不変 $ L^p $ 推定の確立、これは超臨界的領域である。
• 臨界指数 $ 1^* $ における弱 $ L^{1^*} $ 推定の導出、これは $ SO(n) $-値場の $ BV $ 界を導くのに十分である。
• $ \operatorname{Curl}(A) \in \mathcal{M}^n(\Omega) $ が成り立つならば、$ A \in SO(n) $ a.e. のとき $ A \in BV(\Omega, SO(n)) $ であることを証明する、やや弱い正則性条件下で。

提案手法

• 平均化線形ホモトピー作用素 $ T $ を用いて、非整合な場 $ A $ を整合性のある部分と剰余に分解する。$ T $ は弱特異的積分作用素である。
• 恒等式 $ \omega = T\,\mathrm{d}\omega + \mathrm{d}T\,\omega $ を用いて、場をその $ \operatorname{Curl} $ と、Calderón-Zygmund 作用素によって制御される剰余項で表現する。
• $ T $ の点ごとの $ L^p $ 界を、核 $ \frac{1}{|x-y|^{n-1}} $ から導出し、$ p > 1^* $ における剰余項の $ L^p $ 制御を行う。
• Conti, Dolzmann, および Müller の弱幾何的剛性推定を活用し、臨界指数における弱 $ L^{1^*} $ でのスケーリング不変不等式を導出する。
• 立方体の辺の長さが $ \varrho $ である領域上で、$ A $ の区分定数近似 $ A_\varrho $ を構成する。各立方体上で $ \operatorname{dist}(A, SO(n)) $ を最小化する回転 $ R_i^{(\varrho)} $ を用いる。
• $ \varrho^{\frac{n-2}{2}} \|\operatorname{dist}(A, SO(n))\|_{L^2} + |\operatorname{Curl}(A)|(\Omega) $ を用いて、全 variation $ |DA_\varrho| $ と $ L^1 $-誤差 $ \|A - A_\varrho\|_{L^1} $ を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ n \geq 3 $ における非整合な場に対して、幾何的剛性推定を拡張することは可能か？特に超臨界的領域 $ p > 1^* $ においては。
• RQ2 臨界指数 $ 1^* $ においてスケーリング不変推定が可能か？その場合、どの関数空間に属するか？
• RQ3 弱 $ L^{1^*} $ 推定を用いて、$ \operatorname{Curl} $ が有限な $ SO(n) $-値場の有界 variation (BV) 正則性を導くことができるか？
• RQ4 このような場の区分定数近似 $ A_\varrho $ の $ L^1 $-誤差と全 variation の最適なスケーリングは、$ \varrho $ に関してどのように表されるか？
• RQ5 $ SO(n) $ に almost everywhere に値する場の $ \operatorname{Curl} $ が、その $ BV $-半ノルムを制御するか？

主な発見

• $ p > 1^* = \frac{n}{n-1} $ に対して、次元 $ n \geq 3 $ における非整合な場に対して、定数が $ n $ のみに依存するスケーリング不変 $ L^p $ 幾何的剛性推定を確立している。
• 臨界指数 $ 1^* $ において、弱 $ L^{1^*} $ 空間におけるスケーリング不変推定が得られ、これは $ SO(n) $-値場の $ BV $ 界を導くのに十分である。
• 弱 $ L^{1^*} $ 推定により、$ A \in SO(n) $ a.e. かつ $ \operatorname{Curl}(A) \in \mathcal{M}^n(\Omega) $ ならば $ A \in BV(\Omega, SO(n)) $ であり、$ |DA|(\Omega) \leq C_n |\operatorname{Curl}(A)|(\Omega) $ が成り立つ。
• 区分定数近似 $ A_\varrho $ に対して、$ \frac{1}{\varrho}\|A - A_\varrho\|_{L^1} + |DA_\varrho|(\Omega) \leq C_n \left( \varrho^{\frac{n-2}{2}} \|\operatorname{dist}(A, SO(n))\|_{L^2} + |\operatorname{Curl}(A)|(\Omega) \right) $ が成り立つ。
• $ \varrho \to 0 $ のとき、$ A_\varrho \to A $ は $ L^1 $ で強収束し、全 variation $ |DA_\varrho| $ は $ \varrho $ に依存しない一様に有界である。これは、$ A \in SO(n) $ a.e. かつ $ \operatorname{Curl}(A) $ が有限であるとき、$ A \in BV(\Omega, SO(n)) $ であることを示している。