[論文レビュー] Geometric Semigroup Theory

Jon McCammond, John Rhodes+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2011

semigroups and automata theory参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有限半群の幾何的アプローチを提案し、自由バーナイド半群の右ケイリー図に類似した形にそのオートマトンを拡張することで、トポロジー的・幾何的解析を簡素化する。主な貢献は、代数的構造を保ちながらも、フラクタル的で規則的な幾何的性質を付与する有限拡張（McCammond $M^c$-拡張）を提供することである。これにより、半群における語問題や正則言語の研究が促進される。

ABSTRACT

Geometric semigroup theory is the systematic investigation of finitely-generated semigroups using the topology and geometry of their associated automata. In this article we show how a number of easily-defined expansions on finite semigroups and automata lead to simplifications of the graphs on which the corresponding finite semigroups act. We show in particular that every finite semigroup can be finitely expanded so that the expansion acts on a labeled directed graph which resembles the right Cayley graph of a free Burnside semigroup in many respects.

研究の動機と目的

• 有限生成半群の解析のための幾何的フレームワークを、オートマトンのトポロジーと幾何学を用いて構築すること。
• バーナイド半群の研究に用いられる幾何的技法を、任意の有限半群に一般化すること。
• 任意の有限半群に対して、その作用が自由バーナイド半群の右ケイリー図の幾何的性質を模倣するラベル付き有向グラフ上で忠実に働く有限拡張を構成すること。
• 拡張されたオートマトン上で、代数的ランク関数と幾何的ランク関数の対応を確立し、一貫性のある安定化解析を可能にすること。

提案手法

• 与えられた有限オートマトンを、より構造的で幾何的に規則的な形に変換するため、McCammondカバー構成を用いる。
• 有限半群に $M^c$-拡張を適用し、フラクタル的で経路が簡略化されたラベル付き有向グラフ上で忠実に作用する新しいオートマトンを生成する。
• 元の半群におけるラベルの代数的ランクを尊重する、拡張されたオートマトン上の幾何的ランク関数を定義する。
• $\rJ'$-写像とマリチェフ拡張を用いて、半群拡張の過程で $\rJ$-順序構造を保持・解析する。
• 一意的な単純パス性質とループパス（lp）構成を用い、ループラベルをその代数的ランクに従ってトポロジカルソートを保証する。
• ルート付きグラフの基本モノイドを用いて、拡張されたオートマトンにおける安定化構造とイデムポテン元の鎖を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限半群は、そのラベル付き有向グラフ上の作用が、自由バーナイド半群 $\mathcal{B}(m,n)$（$m \geq 6$）の右ケイリー図の幾何的構造に類似する有限拡張をもつだろうか？
• RQ2 $\rJ'$-写像とマリチェフ拡張は、半群拡張の過程で代数的ランク関数をどのように保持または変換するのか？
• RQ3 拡張されたオートマトン上の幾何的ランク関数と、元の半群における要素の代数的ランクの関係は何か？
• RQ4 McCammond拡張は、有限半群における語問題や正則言語の解析をどの程度簡素化できるか？
• RQ5 拡張されたオートマトンにおけるループおよび安定化子の構造は、元の半群の $\rJ$-順序とイデムポテン元の鎖構造をどの程度反映しているか？

主な発見

• 任意の有限 $A$-半群は、$m \geq 6$ である自由バーナイド半群 $\mathcal{B}(m,n)$ の右ケイリー図と類似した幾何的性質を持つラベル付き有向グラフ上で忠実に作用する有限 $M^c$-拡張をもつ。
• $M^c$-拡張は元の半群の $\rJ$-順序構造を保ち、拡張されたグラフの基本モノイドが元の半群の正則 $\rJ$-類を反映する。
• 拡張されたオートマトン上の幾何的ランク関数は、代数的ランク関数と整合性を持つ：$\mathsf{Rank}_S(y) < \mathsf{Rank}_S(z)$ ならば、対応する太字矢印の幾何的ランクは $r(e) < r(f)$ を満たす。
• 任意の全射 $\rJ'$-写像 $\varphi: S \to T$ に対して、代数的ランクは保存される：すべての $s \in S$ に対して $\mathsf{Rank}_S(s) = \mathsf{Rank}_T(\varphi(s))$。
• リフト補題により、任意の $t \in T$ に対して、$\varphi(s^\omega) = t^\omega$ かつ $\mathsf{Rank}_S(s) \geq \mathsf{Rank}_T(t)$ を満たす $s \in S$ が存在する。これにより、全射下でのランクの整合性が保証される。
• 有限 $\rJ$-上位半群の部分半群も $\rJ$-上位であり、その代数的ランクは周囲の半群のランクによって上から抑えられる：すべての $t \in T \subseteq S$ に対して $\mathsf{Rank}_T(t) \leq \mathsf{Rank}_S(t)$。