[論文レビュー] Geometric stability of the cotangent bundle and the universal cover of a projective manifold

Frédéric Campana, Thomas Peternell+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、射影多様体の余接 bundle における部分層の正性と普遍被覆の構造との関連を結びつける幾何的安定性基準を確立する。普遍被覆に正次元のコンパクト部分多様体を含まない場合かつ正則オイラー標数が非ゼロであれば、多様体は一般型であることを示す。これはシャファレヴィチ予想への重要な一歩を示し、擬効果的ライン bundle と可動曲線を用いたコホロロジー次元理論の精緻化をもたらす。

ABSTRACT

Consider a projective manifold X and suppose that some wedge power of the cotangent bundle contains a subsheaf whose determinant bundle has maximal Kodaira dimension. Then we prove that X is of general type. More generally we compute the Kodaira dimension if the determinant bundle has sufficiently large Kodaira dimension. This is based on the study of the determinant bundle of a quotient of the cotangent bundle of a non-uniruled manifold: this bundle is always pseudo-effective. We apply this to study the universal cover of a projective manifold. Finally we prove the following: if the canonical bundle is numerically equivalent to an effective Q-divisor, then the Kodaira dimension is non-negative.

研究の動機と目的

• 射影多様体の普遍被覆の構造と余接 bundle 内の部分層の幾何的正性との間の基準を確立すること。
• 普遍被覆がコンパクト部分多様体で覆われず、正則オイラー標数がゼロでない射影多様体が一般型であることを証明すること。
• 三浦の一般的ネフ性定理を拡張し、可動曲線と擬効果的ライン bundle を用いた無理的多様体性の基準を提供すること。
• 非無理的多様体に対して、精製されたコホロロジー次元 κ⁺(X) が通常のコホロロジー次元 κ(X) に一致するという予想を支持すること。
• 数的に自明なライン bundle における canonical bundle の振る舞いを、特にコホロロジー次元との関係で調査すること。

提案手法

• 可動曲線クラス α ∈ M̄E(X) による torsion-free sheaf へのミヤオカの一般的ネフ性定理の一般化を用いる。
• [BDPP04] における移動曲線による擬効果的ライン bundle の特徴付けを応用し、行列式の正性を分析する。
• スロープ安定性を一般化し、可動曲線クラス α に関する α-半安定性を torsion-free sheaf に導入する。
• 小林＝ヒッチン対応を用い、Gauduchon 計量 ω における Hermite-Einstein 計量と多項式安定性を関連付ける。
• α-半安定な層のテンソル積が、α-半安定のままであることを、α を正則クラスで近似し、階数に関する帰納法を用いて証明する。
• 正の電流コーンのコンパクト性と双対性の議論を用い、正の (1,1)-電流から (n−1)-形式 ω を定義し、曲率に基づくスロープ計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余接 bundle において、射影多様体の普遍被覆が正次元のコンパクト部分多様体を含まない条件は何か？
• RQ2 部分層 ΩpX の行列式が大きいとすると、canonical bundle が大きいか、または非常に正である条件は何か？
• RQ3 ΩpX の商の行列式の擬効果性は、多様体 X の無理的性とどのように関係するか？
• RQ4 非無理的多様体に対して、精製されたコホロロジー次元 κ⁺(X) が通常のコホロロジー次元 κ(X) とどの程度一致するか？
• RQ5 L が数的に自明であるとき、κ(X, KX + L) の振る舞いは何か？また、κ(X) と等しくなる条件は何か？

主な発見

• 正則な射影多様体 X が至るところ有理的特異点をもつとし、その普遍被覆 ̃X に正次元のコンパクト部分多様体を含まない場合、かつ χ(OX) ≠ 0 であれば、X は一般型である。
• 端的特異点をもつ射影多様体 X で、普遍被覆が Stein であるとき、KX が非常に正であるか、KX がネフで KXⁿ = 0 かつ χ(OX) = 0 である。
• 任意の (Ω¹X)⊗m の torsion-free 商の行列式は、X が無理的でない限り擬効果的である。これは新たな無理的多様体性の基準を提供する。
• X が無理的でない場合、精製されたコホロロジー次元 κ⁺(X) は κ(X) に等しい。これは、一般に κ⁺(X) = κ(X) であるという予想を支持する。
• L が数的に自明であれば、κ(X, KX + L) ≤ κ(X) であり、κ(X) = 0 で等号が成立するならば、L は Pic⁰(X) 内の torsion 要素である。
• mKX が有効 divisor と数的に同値であるならば、κ(X) ≥ 0 である。これは、X が無理的でない場合に KX が擬効果的であることから従う。