[論文レビュー] Geometric structures and Lie algebroids

Ralph L. Klaasse|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 76被引用数 6

ひとこと要約

本学位論文は、特異性が吸収されるLie代数的群に埋め込むことで、Poisson、Dirac、一般化された複素構造などの幾何的構造の特異性を解消する枠組みとして$\nabla$-Lie代数的群を導入する。主たる貢献は、CrainicとMestreの分割定理の$\nabla$-類似形を確立し、Eulerに類似たベクトル場と$\nabla$-上昇を用いて、$\nabla$-横断的部分多様体の近傍における$\nabla$-Lie代数的群の局所モデルを構成することにより、特異的状況下でもシンプレクティックおよびPoisson的手法を適用可能にするものである。

ABSTRACT

In this thesis we study geometric structures from Poisson and generalized complex geometry with mild singular behavior using Lie algebroids. The process of lifting such structures to their Lie algebroid version makes them less singular, as their singular behavior is incorporated in the anchor of the Lie algebroid. We develop a framework for this using the concept of a divisor, which encodes the singularities, and show when structures exhibiting such singularities can be lifted to a Lie algebroid built out of the divisor. Once one has successfully lifted the structure, it becomes possible to study it using more powerful techniques. In the case of Poisson structures one can turn to employing symplectic techniques. These lead for example to normal form results for the underlying Poisson structures around their singular loci. In this thesis we further adapt the methods of Gompf and Thurston for constructing symplectic structures out of fibration-like maps to their Lie algebroid counterparts. More precisely, we introduce the notion of a Lie algebroid Lefschetz fibration and show when these give rise to A-symplectic structures for a given Lie algebroid A. We then use this general result to show how log-symplectic structures arise out of achiral Lefschetz fibrations. Moreover, we introduce the concept of a boundary Lefschetz fibration and show when they allow their total space to be equipped with a stable generalized complex structure. Other results in this thesis include homotopical obstructions to the existence of A-symplectic structures using characteristic classes, and splitting results for A-Lie algebroids (i.e., Lie algebroids whose anchor factors through that of a fixed Lie algebroid A), around specific transversal submanifolds.

研究の動機と目的

• 特異性が穏やかな幾何的構造を研究するための枠組みを構築すること。特異性は、特異性が吸収されるLie代数的群に埋め込まれる。
• 非退化構造を$\nabla$-Lie代数的群上に構成することで、特異的状況下でもシンプレクティックおよびPoisson的手法を一般化すること。
• $\nabla$-Lie代数的群の古典的分割定理の$\nabla$-類似形を確立し、横断的部分多様体の近傍における局所モデルの構成を可能にする。
• $\nabla$-構造を用いて、対数Poisson、折りたたみシンプレクティック、安定一般化複素構造などの特異的幾何的構造を一貫して上昇および解消するための体系的手段を提供すること。
• Moserの技法やLefschetzファイブレーションといった古典的手法を、$\nabla$-Lie代数的群の設定に拡張し、このような構造の構築および分類を可能にする。

提案手法

• $\nabla$-アンカー付きベクトル束と$\nabla$-Lie代数的群を、アンカー写像が接続$\nabla$を介して上昇されるLie代数的群の一般化として導入する。
• 部分多様体の$\nabla$-横断性を定義し、強いチューブ近傍埋め込みを用いて正規バンドルの引き戻しにより$\nabla$-線形近似を構成する。
• セクションの$\nabla$-上昇を用いて、$\nabla$-横断的部分多様体に沿ってEulerに類似した性質を示すLie代数的群上の無限小自己同型$\tilde{V}$を構成する。
• 古典的分割定理の$\nabla$-類似形（$\nabla$-上昇と強力なチューブ近傍を用いて）を適用し、$\nabla$-Lie代数的群の局所モデルを構成する。
• Moserに類似した技法とLefschetzファイブレーションを$\nabla$-設定に適用し、$\nabla$-シンプレクティックおよび$\nabla$-一般化複素構造を構成する。
• 特性類と安定バンドル同型を用いて、$\nabla$-Nambu構造および$\nabla$-ほぼ複素構造の存在に関するホモトピー的障害を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的幾何的構造（例：対数Poisson構造、折りたたみシンプレクティック構造）が、特異性が吸収されるLie代数的群上に非退化構造に解消可能か。
• RQ2 Lie代数的群の古典的分割定理の$\nabla$-類似形は何か。また、$\nabla$-横断的部分多様体にどのように適用されるか。
• RQ3 ファイブレーションとMoser技法を用いて、$\nabla$-シンプレクティックおよび$\nabla$-一般化複素構造をどのように構成できるか。
• RQ4 与えられた$\nabla$-Lie代数的群上に$\nabla$-Nambuまたは$\nabla$-ほぼ複素構造が存在するためのホモトピー的障害は何か。
• RQ5 $\nabla$-枠組みを用いて、除数型特異性を有するDiracおよびPoisson構造を上昇および分類可能か。

主な発見

• $\nabla$-Lie代数的群の分割定理の$\nabla$-類似形が確立された：任意の$\nabla$-横断的部分多様体$N \to X$に対して、基底写像が強力なチューブ近傍埋め込みである、$\nabla$-アンカー付きベクトル束の同型$\tilde{\rho}: p^!i^!E_{\nabla} \to E_{\nabla}|_U$が一意に存在する。
• $\nabla$-Lie代数的群において、同様の結果がLie代数的群の同型として成り立つ。これにより、Lie代数的群構造との整合性が保証される。
• $\nabla$-横断的部分多様体に沿ってEulerに類似した性質を示す無限小自己同型$\tilde{V} \to \nabla$-Lie代数的群が存在し、これにより局所モデルの構成が可能になる。
• この$\tilde{V}$の存在は、アンカー写像の$\nabla$-上昇および$\nabla$-アンカー付きバンドルの$\nabla$-可換性によって保証される。
• $\nabla$-シンプレクティックおよび$\nabla$-一般化複素構造の構成は、$\nabla$-Lefschetzファイブレーションと境界写像を用いて達成され、古典的手法が一般化される。
• $\nabla$-Nambuまたは$\nabla$-ほぼ複素構造の存在に関するホモトピー的障害は、安定バンドル同型の特性類を用いて計算された。