[論文レビュー] Geometric Structures in Tensor Representations (Final Release)

Antonio Falcó, Wolfgang Hackbusch+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、木構造形式におけるテンソル表現の幾何構造を確立し、固定または有界な木構造ランクを持つテンソルの集合が解析的バナッハ多様体をなすことを証明することで、高次元問題における厳密な微分幾何学的枠組みを可能にする。また、トポロジカルテンソルバナッハ空間へのディラック＝フレンケル変分原理の拡張を行い、これらの多様体における最良近似の存在を証明する。

ABSTRACT

The main goal of this paper is to study the geometric structures associated with the representation of tensors in subspace based formats. To do this we use a property of the so-called minimal subspaces which allows us to describe the tensor representation by means of a rooted tree. By using the tree structure and the dimensions of the associated minimal subspaces, we introduce, in the underlying algebraic tensor space, the set of tensors in a tree-based format with either bounded or fixed tree-based rank. This class contains the Tucker format and the Hierarchical Tucker format (including the Tensor Train format). In particular, we show that the set of tensors in the tree-based format with bounded (respectively, fixed) tree-based rank of an algebraic tensor product of normed vector spaces is an analytic Banach manifold. Indeed, the manifold geometry for the set of tensors with fixed tree-based rank is induced by a fibre bundle structure and the manifold geometry for the set of tensors with bounded tree-based rank is given by a finite union of connected components. In order to describe the relationship between these manifolds and the natural ambient space, we introduce the definition of topological tensor spaces in the tree-based format. We prove under natural conditions that any tensor of the topological tensor space under consideration admits best approximations in the manifold of tensors in the tree-based format with bounded tree-based rank. In this framework, we also show that the tangent (Banach) space at a given tensor is a complemented subspace in the natural ambient tensor Banach space and hence the set of tensors in the tree-based format with bounded (respectively, fixed) tree-based rank is an immersed submanifold. This fact allows us to extend the Dirac-Frenkel variational principle in the framework of topological tensor spaces.

研究の動機と目的

• 根付き木と最小部分空間を用いた部分空間に基づく形式におけるテンソル表現の幾何的枠組みを確立すること。
• トポロジカルテンソル空間内において、固定または有界な木構造ランクを持つテンソルの集合が解析的バナッハ多様体として特徴付けられること。
• 自然な条件下で、有界な木構造ランクを持つテンソルの多様体における最良近似の存在を証明すること。
• 木構造形式の多様体幾何を用いて、テンソルバナッハ空間へのディラック＝フレンケル変分原理の拡張を行うこと。
• 高次元偏微分方程式や最小化問題の数値的解法におけるテンソル形式を通じた微分幾何的基盤を提供すること。

提案手法

• 根付き木を用いて階層的テンソル形式を表現し、最小部分空間の次元が木構造ランクを定義する。
• 2つのクラスを定義する：固定木構造ランクのテンソル（1つの多様体）と有界木構造ランクのテンソル（有限個の多様体の和集合）。
• ファイバー束理論を適用して、固定ランクテンソルの多様体幾何と、有界ランク集合の連結成分を示す。
• 木構造形式におけるトポロジカルテンソル空間を、バナッハノルムに関して代数的テンソル空間の完備化として定義する。
• 包含写像の微分を用いて、有界ランクテンソルの多様体が埋め込まれた部分多様体であることを証明する。
• 動的系を多様体の接空間上に射影することで、時間に依存するハートリー法をディラック＝フレンケル原理から導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 根付き木と最小部分空間を用いて、木構造形式におけるテンソル表現の幾何的構造はどのように特徴付けられるか？
• RQ2 トポロジカルテンソル空間内において、固定または有界な木構造ランクを持つテンソルの集合の微分幾何的性質は何か？
• RQ3 有界な木構造ランクを持つテンソルの集合は、周囲のトポロジカルテンソル空間で最良近似を許容するか？
• RQ4 木構造形式の多様体構造を用いて、テンソルバナッハ空間へのディラック＝フレンケル変分原理の拡張は可能か？
• RQ5 木構造形式におけるテンソルの接空間と周囲のテンソルバナッハ空間との関係は何か？

主な発見

• 固定木構造ランクを持つテンソルの集合は、ファイバー束構造によって誘導される幾何を有する解析的バナッハ多様体をなす。
• 有界木構造ランクを持つテンソルの集合は、有限個の連結成分からなるが、それぞれが固定木構造ランクテンソルの多様体である。
• 有界木構造ランクを持つテンソルの多様体上での任意の点における接空間は、周囲のテンソルバナッハ空間の補完部分空間である。
• 有界ランクテンソルの多様体から周囲空間への包含写像は、埋め込みであることが確認され、多様体構造が裏付けられる。
• 自然な条件下で、有界木構造ランクを持つテンソルの多様体において最良近似が存在し、変分法の収束を保証する。
• 時間に依存するハートリー法は、多様体上での射影された動的系の解として得られ、ディラック＝フレンケル変分原理を満たす。