[論文レビュー] Geometric structures modeled on affine hypersurfaces and generalizations of the Einstein Weyl and affine hypersphere equations

Daniel J. F. Fox|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2009

Advanced Differential Geometry Research被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Weyl構造と平坦なアフィン空間内のアフィン超曲面の内在的幾何を統一する幾何的枠組みとして、アインシュタインAH（アフィン超曲面）構造を導入する。これはアインシュタイン＝ワイル方程式を一般化し、AH構造がアインシュタインであるための必要十分条件が、対応する超曲面がアフィン超球面であることであることを証明する。凸な平坦な射影的構造上でのアインシュタインAH構造の存在結果を確立し、可換で非結合的代数を用いてWeyl構造でない例を構成することで、スカラー曲率分類を拡張し、AH構造に対して一般化されたバッハテンソルを導入する。

ABSTRACT

An affine hypersurface (AH) structure is a pair comprising a conformal structure and a projective structure such that for any torsion-free connection representing the projective structure the completely trace-free part of the covariant derivative of any metric representing the conformal structure is completely symmetric. AH structures simultaneously generalize Weyl structures and abstract the geometric structure determined on a non-degenerate co-oriented hypersurface in flat affine space by its second fundamental form together with either the projective structure induced by the affine normal or that induced by the conormal Gauss map. There are proposed notions of Einstein equations for AH structures which for Weyl structures specialize to the usual Einstein Weyl equations and such that the AH structure induced on a non-degenerate co-oriented affine hypersurface is Einstein if and only if the hypersurface is an affine hypersphere. It is shown that a convex flat projective structure admits a metric with which it generates an Einstein AH structure, and examples are constructed on mean curvature zero Lagrangian submanifolds of certain para-Kähler manifolds. The rough classification of Riemannian Einstein Weyl structures by properties of the scalar curvature is extended to this setting. Known estimates on the growth of the cubic form of an affine hypersphere are partly generalized. The Riemannian Einstein equations are reformulated in terms of a given background metric as an algebraically constrained elliptic system for a cubic tensor. From certain commutative nonassociative algebras there are constructed examples of exact Riemannian signature Einstein AH structures with self-conjugate curvature but which are not Weyl and are neither projectively nor conjugate projectively flat.

研究の動機と目的

• 新しい幾何的構造としてのAH構造を導入し、Weyl構造と平坦なアフィン空間内でのアフィン超曲面の内在的幾何を統一すること。
• アインシュタイン＝ワイル方程式を一般化するAH構造におけるアインシュタイン方程式を定義し、研究すること。
• 平坦なアフィン空間内の超曲面上に誘導されるAH構造がアインシュタインであるための必要十分条件が、その超曲面がアフィン超球面であることであることを証明すること。
• 特に可換で非結合的代数を用いて、Weyl構造やアフィン超曲面型とは異なる新しいアインシュタインAH構造の例を構成すること。
• コンformal幾何と類似する形で、AH構造に対するスカラー曲率分類を拡張し、一般化されたバッハテンソルを導入すること。

提案手法

• AH構造を、共形構造と射影的構造の組み合わせとして定義し、共形類に属する計量の共変微分に、トレースフリーな対称性条件を課す。
• 背景計量を用いて、3次テンソルに対する代数的制約付きの楕円型偏微分方程式系として、アインシュタインAH方程式を定式化する。
• 平均曲率がゼロのラグランジュ部分多様体上で、パラケーラー空間形式内に例を構成し、凸な平坦な実射影的構造に対しても同様の構成を行う。
• 可換で非結合的代数を用いて、自己随伴曲率を有するがWeylでも射影的に平坦でもない、正確なアインシュタインAH構造を生成する。
• トレースフリーな対称テンソル上の曲率作用素を用いて、AH構造に対する一般化されたバッハ作用素を導出し、Codazzi射影構造において不変であることを証明する。
• Weitzenböck型の恒等式と微分作用素を用いて、アインシュタイン方程式を再定式化し、3次ねじれテンソルの成長を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AH構造がアインシュタインであるための条件は何か。この条件はアインシュタイン＝ワイル方程式にどのように特殊化されるか。
• RQ2 平坦なアフィン空間内の超曲面上に誘導されるAH構造がアインシュタインであるための条件は何か。この条件が表す幾何的性質は何か。
• RQ3 Weyl構造でないアインシュタインAH構造は存在するのか。もしあるならば、代数的構造を用いてどのように構成できるか。
• RQ4 コンパクト多様体上でのスカラー曲率の性質は、アインシュタインAH構造をどのように分類するか。これはWeyl構造に対するボッハ型分類をどのように拡張するか。
• RQ5 AH構造に対する適切なバッハテンソルの一般化は何か。このテンソルは曲率作用素や発散なし条件とどのように関係するか。

主な発見

• AH構造がアインシュタインであるための必要十分条件は、平坦なアフィン空間内の対応する超曲面がアフィン超球面であることである。これは深い幾何的特徴付けを確立する。
• 任意の凸な平坦な実射影的構造は、自然に双対なアインシュタインAH構造のペアを有する。
• Weyl構造でないアインシュタインAH構造は存在し、可換で非結合的代数を用いて構成可能である。例としては、自己随伴曲率を有するが射影的に平坦でない構造が存在する。
• リーマン的アインシュタインAH方程式は、3次テンソルに対する代数的制約付き楕円型系に再定式化され、解析的取り扱いが可能になる。
• AH構造に対して一般化されたバッハテンソルを定義し、次元4において、自己随伴曲率を有する閉じたアインシュタインAH構造ではこのテンソルが消える。
• アフィン超球面上での3次ねじれテンソルの成長は部分的に一般化され、曲率作用素や微分恒等式と関連づけられる。